Mathématique m1018

La décomposition des nombres

​​​La décomposition des nombres permet d'étudier leur composition à l'aide des valeurs de position des chiffres qu'ils contiennent. Mieux comprendre la composition des nombres permet, entre autres, de les placer en ordre. Cette fiche traitera des principales façons permettant de décomposer un nombre.

Chaque type de décomposition comprendra un exemple avec un nombre naturel et un exemple avec un nombre décimal.

Il ne faut pas confondre les décompositions présentées ici avec la factorisation des nombres.

La factorisation des nombres, souvent appelée la décomposition multiplicative, permet d'étudier les différents facteurs et facteurs premiers des nombres.

Décomposition à l'aide du nom des positions

Cette méthode permet de se familiariser avec la décomposition des nombres. Elle consiste à écrire en lettre la position de chacun des chiffres composant le nombre.

Nombre naturel
Décompose |91\:245| en utilisant le nom des positions.

Pour bien repérer la position des chiffres qui composent ce nombre, on peut utiliser un tableau comme celui-ci.

​Chiffre​|9|​|1|​|2|​|4|​|5|
Position​ ​Dizaine de mille
Unité de mille
Centaine ​Dizaine ​Unité

Ainsi, la décomposition du nombre |\small 91\:245| contient |\small 9| dizaines de mille, |\small 1| unité de mille, |\small 2| centaines, |\small 4| dizaines et |\small 5| unités.

Nombre décimal
Décompose |3,208| en utilisant le nom des positions. 

Toujours pour bien repérer la position des chiffres qui composent ce nombre, il est possible d'utiliser un tableau comme celui-ci.

​Chiffre|3||\large ,|​​|2|​|0||8|​
Position​ ​Unité

Dixième CentièmeMillième

Ainsi, la décomposition du nombre |\small 3,208| contient |\small 3| unités, |\small 2| dixièmes et |8| millièmes.

​​Comme le présente bien l'exemple précédent, certaine position contienne le chiffre |0|. Puisque cette valeur est nulle, cela rend l'écriture plus légère.

On remarque que, comme on a le chiffre 0 à la position des centièmes, il n'est pas nécessaire de l'inclure dans la décomposition.​

Décomposition additive

Cette façon de décomposer un nombre consiste à additionner les valeurs de position de tous les chiffres qui le composent.

Pour déterminer les valeurs de position des chiffres composant un nombre, on peut simplement prendre chacun des chiffres séparément et remplacer par |\small 0| tous ceux qui sont entre ce chiffre et la virgule.

Par exemple, pour trouver la valeur de position du chiffre |\small \color{blue}{5}| dans le nombre |\small 1\:541,221|, on peut procéder comme ceci:
||1\:\color{blue}{541,}221\  \mapsto\  \not 1 \ \color{blue}{541,} \not 2 \not 2 \not 1 \ \mapsto \ \color{blue}{500}​||
La valeur de position du chiffre |\small \color{blue}{5}| est donc |\small 500|.

En utilisant le truc donné ci-haut, on peut rapidement décomposer tous les nombres.

Nombre naturel  
Décompose le nombre |91\:245| en utilisant la décomposition additive.  

||\begin{align}\color{blue}{91\:245}\  &\mapsto\  \color{blue}{90\:000}\\
9\color{red}{1\:245}\  &\mapsto\  \color{red}{1\:000}\\ 91\:\color{green}{245}\  &\mapsto\  \color{green}{200}\\ 91\:2\color{fuchsia}{45}\  &\mapsto\  \color{fuchsia}{40}\\ 91\:24\color{orange}{5}\  &\mapsto\  \color{orange}{5}\end{align}||
La décomposition additive de ce nombre est donc:||91\:245=\color{blue}{90\:000}+\color{red}{1\:000}+\color{green}{200}+\color{fuchsia}{40}+\color{orange}{5}||

Nombre décimal
Décompose |3,208| en utilisant la décomposition additive. 

Toujours en utilisant le truc donné plus haut:
||\begin{align}\color{blue}{3,}208\  &\mapsto\  \color{blue}{3}\\
3\color{red}{,2}08\  &\mapsto\  0,\color{red}{2}\\ 3\color{green}{,20}8\  &\mapsto\ 0,\color{green}{00}\\ 3\color{fuchsia}{,208}\  &\mapsto\  0,\color{fuchsia}{008}\end{align}|| La décomposition additive de ce nombre est donc: ||3,208=\color{blue}{3}+\color{red}{0,2}+\color{fuchsia}{0,008}||

On remarque que lorsqu'on a le chiffre 0 dans un nombre, la valeur de position de ce chiffre est égal à 0. Il n'est alors pas utile de le rajouter dans la décomposition additive. Dans l'exemple précédent, il s'agit de la portion |\color{green}{\text{verte}}|.

Pour la décomposition additive des nombres décimaux, il est possible de représenter les valeurs de position des chiffres de la partie décimale par des fractions décimales.

Pour l'exemple précédent, on aurait ||3,208=\color{blue}{3}+\color{red}{\frac{2}{10}}+\color{fuchsia}{\frac{8}{1000}}||

Décomposition multiplicative et additive (la forme développée)

Cette méthode de décomposition ressemble beaucoup à la méthode additive. La différence est que chaque valeur de position est présentée par la multiplication du chiffre et de la valeur associée à sa position. 

Pour bien réaliser cette décomposition, il importe de connaître les valeurs associées aux positions.

Nombre naturel
Décompose |91 \: 245| sous sa forme développée.
En utilisant les valeurs associées aux positions des chiffres composant ce nombre, on obtient la forme développée suivante: ||91\:245=(9\times 10\:000)+(1\times 1\:000)+(2\times 100)+(4\times 10)+(5\times 1)||

Nombre décimal
Décompose |3,208| sous sa forme développée.
En utilisant les valeurs associées aux positions des chiffres composant ce nombre, on obtient la forme développée suivante: ||\begin{align} 3,208&=(3\times 1)+(2\times 0,1)+(8\times 0,001)\\
&=(3\times 1)+\left(2\times \frac{1}{10}\right)+\left(8\times \frac{1}{1000}\right)\end{align}|| 

En utilisant la notation exponentielle​ de façon appropriée, on peut alléger l'écriture de cette forme développée.

​Décompose |91 \: 245| sous sa forme développée.
||\begin{align} 91\:245&=\color{blue}{9\times 10\:000}+\color{red}{1\times 1\:000}+\color{green}{2\times 100}+\color{fuchsia}{4\times 10}+\color{orange}{5\times 1} \\
&=\color{blue}{9\times 10^4}+\color{red}{1\times 10^3}+\color{green}{2\times 10^2}+\color{fuchsia}{4\times 10^1}+\color{orange}{5\times 10^0}\\
&=\color{blue}{9\times 10^4}+\color{red}{1\times 10^3}+\color{green}{2\times 10^2}+\color{fuchsia}{4\times 10}+\color{orange}{5\times 1}\end{align}||

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