Mathématique m1025

Les nombres rationnels (Q)

​​​​​Les nombres rationnels, représentés par |\mathbb{Q}|, sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme
||\frac{a}{b} \ \text{où} \ \small \{a,b\} \in \mathbb {Z} \ \text{et} \ b\neq 0||
Le développement décimal d'un nombre rationnel peut être fini ou infini et périodique.

Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres entiers naturels. Cependant, contrairement aux nombres de ces deux derniers ensembles, les nombres rationnels peuvent avoir une partie décimale non nulle.

Le développement décimal des nombres rationnels

Les nombres rationnels exprimés en notation décimale peuvent prendre deux formes:

  • Un développement décimal fini
  • Un développement décimal infini et périodique

Voici un exemple permettant de faire la différence entre ces deux types de développement décimal.

Prenons les nombres rationnels |\displaystyle \frac{5}{4}| et |\displaystyle \frac{2}{3}|.

Développement décimal fini
En effectuant la division du numérateur par le dénominateur pour |\displaystyle \frac{5}{4}|, on obtient:
||\displaystyle \frac{5}{4}=1,25||
On dira de ce nombre qu'il a un développement décimal fini, car ce développement est composé d'un nombre fini de chiffres (3 chiffres).

Développement décimal infini et périodique
En exprimant |\displaystyle \frac{2}{3}| en notation décimale, on obtient:
||\displaystyle \frac{2}{3}=0,6666666...||
On voit ici que ce nombre rationnel a un développement décimal infini. Cependant, on remarque une certaine répétition: le chiffre |\small 6| se répète. On appelle ce chiffre une période. On peut exprimer ce nombre rationnel de la façon suivante:
||\displaystyle \frac{2}{3}=0,\overline{6}||
On dira de ce nombre rationnel qu'il a un développement décimal infini et périodique.

Tous les nombres rationnels dont le développement décimal est fini sont regroupés dans un sous-ensemble appelé l'ensemble des nombres décimaux qui est représenté par le symbole |\mathbb{D}|.

Les nombres rationnels dont le développement décimal est infini et périodique sont parfois appelé, par abus de langage, des nombres périodiques.

​ Les nombres rationnels et les ensembles de nombres

Les nombres rationnels |\small (\mathbb{Q})| forment un sous-ensemble des nombres réels et ils incluent les ensembles des nombres entiers naturels et des nombres entiers. En utilisant les notations associées aux ensembles de nombres, on écrit
||\begin{align} \mathbb N&\subset\mathbb Q\\ \mathbb Z&\subset \mathbb Q\end{align}||
et se lit «l'ensemble des nombres entiers naturels et l'ensemble des nombres entiers sont inclus dans l'ensemble des nombres rationnels». Voici un schéma qui démontre l'emplacement des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels.

 S'il est impossible d'écrire un nombre sous la forme d'une fraction, celui-ci fait donc partie des nombres irrationnels.

Exemple 1
|\frac{3}{4}| est une fraction de la forme |\frac{a}{b}| dont le développement décimal est |\small 0,75|. C'est donc un nombre rationnel.

Exemple 2
|\small 0,333...=0,\overline{3}| est un nombre dont le développement décimal est infini et périodique. Il est donc un nombre rationnel. De plus, ce nombre peut s'exprimer sous forme d'une fraction: |\small 0,\overline{3}=\normalsize\frac{1}{3}|.

Exemple 3
Le nombre |\small \text{-}7| est un nombre entier qui peut être écrit sous la forme |\frac{a}{b}| comme étant |\frac{\text{-}7}{1}|. Ce nombre est donc aussi un nombre rationnel.

Exemple 4
|\small 0,25| est un nombre décimal dont la forme |\frac{a}{b}| est |\frac{1}{4}|. Il s'agit donc aussi d'un nombre rationnel.

Exemple 5
|\small 2\normalsize\frac{1}{3}| est un nombre fractionnaire dont la forme |\frac{a}{b}| est |\frac{7}{3}| et dont le développement décimal est |\small 2,\overline{3}|. Il fait partie de l'ensemble des nombres rationnels.

Exemple 6
|\small \sqrt2| et |\pi| sont des exemples de nombres qui ne peuvent pas s'exprimer sous la forme |\frac{a}{b}| et dont le développement décimal est infini et non-périodique. Il ne font donc pas partie de l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont des nombres irrationnels.

En utilisant les notations associées aux ensemble, on pourrait, par exemple, écrire
||\begin{align} 0,25&\in \mathbb{Q}\\ \sqrt2&\notin \mathbb{Q}\end{align}||

Les notations associées aux ensembles permettent aussi de désigner certains sous-ensembles précis de l'ensemble des nombres rationnels.

On note |\mathbb{Q}*| l'ensemble des nombres rationnels dont on a enlevé le nombre |0|.

On note |\mathbb{Q}_+| l'ensemble des nombres rationnels positifs.

On note |\mathbb{Q}_-| l'ensemble des nombres rationnels négatifs.

Afin de classer en ordre croissant ou décroissant des nombres rationnels, il est pratique de les transformer sous la même forme d'écriture (fractions, nombres fractionnaires ou nombres décimaux).
Le passage d'une forme d'écriture à une autre

 

Les fractions et les nombres fractionnaires
Les nombres décimaux

Les vidéos
Les exercices
Les références