Mathématique m1026

Placer en ordre des nombres naturels

​​​La comparaison de nombres naturels permet de situer ces nombres les uns par rapport aux autres. On peut alors les placer en ordre croissant ou en ordre décroissant.

Placer les nombres en ordre croissant revient à placer les nombres du plus petit au plus grand.
||0\  <\  1\  <\  2\  <\  3\  <\  4\  <\  5\  <\  6\  <\  ...||
Placer les nombres en ordre décroissant revient à placer les nombres du plus grand au plus petit.
||...\  >\  6\ >\  5\  >\  4\  >\  3\  >\  2\  >\  1\  >\  0||​

​Représentation de l'ordre des nombres

L'ordre des nombres naturels peut être représenté de plusieurs façons. En voici deux.

Illustrations

On peut représenter l'ordre de nombres naturels de petite valeur à l'aide de dessins. Ainsi, plus il y a de dessins (de même valeur) nécessaires à la représentation d'un nombre, plus ce nombre est grand.

Les nombres suivants ont été représentés à l'aide d'étoiles.
m1026.png
On peut voir que |\small 1| est le plus petit nombre, alors que |\small 12| est le plus grand.

L'ordre croissant de ces nombres est donné par:
||1\  <\  4\  <\  7\  <\  12|| 
L'ordre décroissant est plutôt donné par:
||12\  >\  7\  >\  4\  >\  1||

Droite numérique

On peut aussi utiliser une droite numérique pour représenter l'ordre des nombres.

Plus un nombre entier naturel sera éloigné de |\small 0| sur la droite, plus ce nombre sera grand.
m1026i2.png

Les nombres suivants sont représentés sur la droite numérique.
m1026i3.png
On peut voir que |\small 6| est le nombre entier naturel avec la valeur la plus petite, car c'est celui qui est le plus près de |\small 0|. Dans le même ordre d'idée, le nombre entier naturel |\small 34| est celui avec la plus grande valeur, car il est le plus éloigné de |\small 0|.

L'ordre croissant de ces nombres est donné par:
||6\  <\  13\  <\  20\  <\  34||
L'ordre décroissant de ces nombres est plutôt donné par: ||34\  >\  20\  >\  13\  >\  6||

Méthodes pour placer en ordre des nombres naturels

Plusieurs méthodes permettent de placer en ordre des nombres naturels. Nous en présenterons deux.

À l'aide de groupes de nombres​

Lorsqu'on doit placer en ordre des nombres naturels, il est possible de les séparer en groupes selon le nombre de chiffres qui les composent. Il sera alors plus facile de les placer en ordre. Voici les étapes de cette méthode.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Regrouper les nombres à ordonner selon le nombre de chiffres qui les composent.

3. Mettre les nombres de chacun des groupes en ordre selon l'ordre désiré.

4. Mettre les groupes en commun pour obtenir les nombres dans l'ordre voulu.

Pour mettre en ordre des nombres naturels composés du même nombre de chiffres, il faut comparer les chiffres ayant les mêmes valeurs de position ensemble, en partant de la gauche vers la droite. Aussitôt que l'on note une différence, le chiffre le plus grand appartiendra au nombre le plus grand.

Prenons les nombres |1245| et |1263|, par exemple. 
||\large \bbox[orange]{1}\: \bbox[aqua]{2}\: \bbox[yellow]{4}\:\bbox[pink]{5}\qquad \qquad \bbox[orange]{1}\: \bbox[aqua]{2}\: \bbox[yellow]{6}\:\bbox[pink]{3}||On commence par comparer les chiffres à la position la plus à gauche, celle des unités de mille. On a le chiffre |\bbox[orange]{1}| pour les deux nombres, on passe donc aux chiffres à la position des centaines. 

On remarque que les deux nombres ont le même chiffre,|\bbox[aqua]{2}| , à la position des centaines aussi. On continue vers la droite en comparant les chiffres à la position des dizaines.

C'est à cette position que l'on note une différence. Comme |\bbox[yellow]{6}| est plus grand que |\bbox[yellow]{4}|, le nombre |12\bbox[yellow]{6}5| est plus grand que |12\bbox[yellow]{4}5|. En d'autres mots, on a ||\large 12\bbox[yellow]{4}5\  <\  12\bbox[yellow]{6}3||

Place en ordre croissant les nombres suivants : ||1\qquad 26\qquad 859\qquad 56 \qquad 8\qquad 24\qquad 347||1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre croissant, c'est-à-dire du plus petit au plus grand.

2. Regrouper les nombres à ordonner selon le nombre de chiffres qui les composent.

||\enclose{circle}[mathcolor="green"]{\color{black}{1}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{26}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="purple"]{\color{black}{859}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{56}} \qquad \enclose{circle}[mathcolor="green"]{\color{black}{8}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{24}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="purple"]{\color{black}{347}}||
||\underbrace{\color{green}{1}\ , \  \color{green}{8}}_\text{un chiffre}\qquad\qquad  \underbrace{\color{blue}{26}\ ,\  \color{blue}{56}\ ,\  \color{blue}{24}}_\text{deux chiffres}\qquad\qquad \underbrace{\color{purple}{859}\ ,\  \color{purple}{347}}_\text{trois chiffres}||
3. Mettre les nombres dans chacun des groupes en ordre
En utilisant le truc ci-haut, on peut placer les nombres de chacun des trois des groupes en ordre croissant.

On obtient ceci ||\color{green}{1}\  <\  \color{green}{8}\qquad \qquad \color{blue}{24}\  <\  \color{blue}{26}\  <\  \color{blue}{56}\qquad \qquad \color{purple}{347}\  <\  \color{purple}{859}||
4. Mettre les groupes en commun
Comme un nombre composé de deux chiffres est plus grand qu'un nombre composé d'un seul chiffre, on obtient ||\color{green}{1}\  <\  \color{green}{8}\  <\  \color{blue}{24}\  <\  \color{blue}{26}\  <\  \color{blue}{56} \  <\  \color{purple}{347}\  <\  \color{purple}{859}||

Si la consigne de l'exemple précédent avait été de placer les nombres en ordre décroissant, il aurait suffit d'inverser la séquence trouvée à l'étape 4. ||\color{purple}{859}\  >\  \color{purple}{347}\  >\  \color{blue}{56}\  >\  \color{blue}{26}\  >\  \color{blue}{24}\  >\  \color{green}{8}\  >\  \color{green}{1}||

À l'aide de la droite numérique

Il est possible de placer des nombres naturels en utilisant une droite numérique. Voici les étapes de cette démarche.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Tracer une droite numérique, si elle n'est pas déjà fournie.

3. En tenant compte du pas de variation, positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré, sachant que plus un nombre est éloigné de zéro, plus il est grand.

Le pas de graduation d'une droite numérique est l'écart existant entre deux marques consécutives.

Place en ordre décroissant les nombres suivants: ||340\qquad 155\qquad 210\qquad 100\qquad 275\qquad 410|| 1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre décroissant, c'est-à-dire du plus grand au plus petit.

2. Tracer une droite numérique.
Nous avons décidé de tracer une droite numérique ayant un pas de graduation de |50|.
m1026i21.png
3. En tenant compte du pas de variation, positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.

m1026i20.png

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré.
Comme les nombres les plus grands sont ceux qui sont les plus éloignés de zéro, on obtient: ||410\  >\  340\  >\  275\  >\  210\  >\  155\  >\  100||

Si la consigne de l'exemple précédent avait été de placer les nombres en ordre croissant, il aurait suffit d'inverser la séquence trouvée à l'étape 4. ||100\  <\  155\  <\  210\  <\  275\  <\  340\  <\  410||
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