Mathématique m1033

Calcul de la taxe et d'un rabais

Les problèmes impliquant le calcul de la taxe et d'un rabais sont courant en mathématiques. Avant de présenter les différents types de problèmes et les méthodes permettant de les résoudre, il importe de comprendre que nous manipulons de l'argent et qu'un certain arrondissement s'impose.

Pour le calcul de la taxe et d'un rabais, il importe de toujours arrondir le résultat de nos calculs au centième près.

Calcul de la taxe

Au Québec, deux taxes sont appliquées sur la plupart des achats que nous effectuons. Ces deux taxes sont ajoutées au montant de l’achat.

La taxe sur les produits et services (aussi appelée TPS) est une taxe perçue par le pays qui s'applique lors de l'achat de la majorité des biens et services.

La taxe de vente du Québec (aussi appelée TVQ) est une taxe perçue par la province québécoise qui est également appliquée sur la majorité des achats de biens et de services.

À titre indicatif, le taux de taxation de la TPS au Canada en 2015 est de |\small 5\:\%| alors qu'au niveau provincial, la TVQ s'élève à |\small 9,975\:\%|. Bien entendu, ces taux sont sujets à changement en fonction de la situation économique du pays et de la province.

Lorsqu’on souhaite calculer le montant final de notre facture, c'est-à-dire le montant incluant les taxes, il y a plusieurs façon de procéder. En voici deux. Les deux méthodes présentés se réfèrent au calcul du «tant pour cent».

Méthode 1

Pour cette méthode, on calculera les deux taxes séparement pour ensuite les additionner au montant initial.
1. Calculer la TPS |\left(5\:\%\right)| à partir du montant de base.

2. Calculer la TVQ |\left(9,975\:\%\right)| à partir du montant de base.

3. Calculer le montant total en additionnant les taxes au montant de base.

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Ce crayon de bois coûte 2,00 $ avant les taxes. Quel est le prix de ce crayon incluant les taxes?

1. Calculer la TPS à partir du montant de base.
On doit calculer |5\:\%| de |2,00\:$|.
||\begin{align}5\:\%\times 2,00\:$&=0,05\times 2,00\:$\\ &=0,10\:$\end{align}||Le montant de la TPS s'élève donc à |0,10\:$| (c'est-à-dire |10\:¢|)

2. Calculer la TVQ à partir du montant de base.
On doit calculer |9,975\:\%| de |2,00\:$|.
||\begin{align}9,975\:\%\times 2,00\:$ &=0,09975\times 2,00\:$\\ &=0,1995\:$\\ &\approx0,20\:$\end{align}||Le montant de la TVQ s'élève donc à |0,20\:$| (c'est-à-dire |20\:¢|).

3. Calculer le montant total en additionnant les taxes au montant de base.
Le montant total est donné par ||2,00\:$+0,10\:$+0,20\:$=2,30\:$||On payera donc |2,30\:$| pour ce crayon.

Méthode 2

Pour cette méthode, on calculera premièrement le pourcentage représentant le montant total (avec taxes).
1. Calculer le pourcentage représentant le montant incluant les taxes. 

2. Calculer le montant final à l'aide de ce pourcentage.

Reprenons l'exemple avec le crayon de bois à 2,00$.

1. Calculer le pourcentage représentant le montant incluant les taxes.
Le montant de base du crayon correspond à |100\:\%|.
La TPS correspond à |5\:\%| et la TVQ, à |9,975\:\%|.

Le pourcentage représentant le montant incluant les taxes est donc donné par: ||100\:\%+5\:\%+9,975\:\%=114,975\:\%||
2. Calculer le montant final à l'aide de ce pourcentage.
On doit calculer |114,975\:\%| de |2,00\:$|.
||\begin{align}114,975\:\%\times 2,00\:$&=1,14975\times 2,00\:$\\&=2,2995\:$\\ &\approx 2,30\:$\end{align}||On remarque que l'on obtient le même résultat qu'avec la méthode 1.

Dans plusieurs problèmes, on arrondira le pourcentage des taxes à |\small 15\:\%|. Cet arrondissement permet d'alléger les calculs, mais permet aussi d'estimer le montant total de la facture à l'aide du calcul mental.

Calcul mental de la taxe

Il est possible de calculer mentalement la taxe: la réponse n’est pas parfaite puisqu'il s'agit d'une approximation.
Il existe deux taxes au Québec : la TPS |\small \left(5\:\%\right)| et la TVQ |\small \left(9,975\:\%\right)|. Quand on additionne ces taxes ensemble, on obtient |\small 14,975\:\%|.
On peut arrondir ce pourcentage à |\small 15\:\%| pour calculer plus facilement le montant approximatif associé aux taxes.

Pour calculer mentalement le montant associé aux taxes, on procède de la façon suivante:

1. Trouver |\small 10\:\%| du montant en déplaçant la virgule d’une position vers la gauche.

2. Diviser ce nombre en deux pour trouver |\small 5\:\%| du montant (|\small 5\:\%| c’est la moitié de |\small 10\:\%|).

3. Additionner les deux nombres trouvés afin d’obtenir approximativement le montant des taxes.

Le prix d'un chandail dans une boutique est de 19,95$.

Estimons le coût total avec les taxes en utilisant les 3 étapes. Pour nous faciliter la tâche, arrondissons le prix du chandail à 20$.

1. Trouver |\small 10\:\%| du montant en déplaçant la virgule d’une position vers la gauche.
||20,00\:$ \Rightarrow 2\color{red}{,}000\:$=2\:$||
2. Diviser ce nombre en deux pour trouver |\small 5\:\%| du montant (|\small 5\:\%| c’est la moitié de |\small 10\:\%|).
||2\:$\div2=1\:$||
3. Additionner les deux nombres trouvés afin d’obtenir approximativement le montant des taxes.
||20\:$+2\:$+1\:$=23\:$||
L'estimation du montant total (avec taxes) est de |23\:$|. En effectuant le calcul des taxes de façon précise, on aurait obtenu |22,94\:$|. On voit donc que cet estimation est très acceptable.

Calcul d’un rabais

Le calcul d’un rabais se fait selon le même principe que celui utilisé pour calculer la taxe; il revient à un calcul du «tant pour cent». Toutefois, plutôt que d’additionner un certain montant au prix de base, comme dans le cas des taxes, on doit réduire d’un certain montant la valeur de l’achat.

Nous présenterons deux méthodes similaires à celles proposées pour le calcul de la taxe.

Méthode 1

Pour cette méthode, on calculera le montant correspondant au rabais pour ensuite le soustraire au montant de base.

1. Calculer la valeur monétaire du rabais à partir du pourcentage de rabais.

2. Soustraire la valeur monétaire du rabais au montant de base.

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Cette lampe vaut 15,00 $, mais le magasin offre un rabais de 20 % applicable aujourd’hui. Quel sera le prix de la lampe après le rabais?

1. Calculer la valeur monétaire du rabais à partir du pourcentage de rabais.
On doit calculer |20\:\%| de |15,00\:$|.
||\begin{align}20\:\%\times 15,00\:$&=0,20\times 15,00\:$\\ &=3,00\:$\end{align}||
Le rabais de la lampe est donc de |3,00\:$|.

2. Soustraire la valeur monétaire du rabais au montant de base
||15,00\:$-3,00\:$=12,00\:$||
Grâce au rabais, la valeur de la lampe est |12,00\:$| au lieu de |15,00\:$|.

Méthode 2

Pour cette méthode, on calculera premièrement le pourcentage représentant le montant après rabais.
1. Calculer le pourcentage représentant le montant après rabais.

2. Calculer le montant après rabais à l'aide de ce pourcentage.

Reprenons l'exemple de la lampe à 15,00 $ avec un rabais de 20%.

1. Calculer le pourcentage représentant le montant après rabais.
Le montant de base de la lampe correspond à |100\:\%|. Le rabais correspond à |20\:\%|.
Le pourcentage représentant le montant après rabais est donc donné par: ||100\:\%-20\:\%=80\:\%||2. Calculer le montant après rabais à l'aide de ce pourcentage.
On doit calculer |80\:\%| de |15,00\:$|.
||\begin{align}80\:\%\times 15,00\:$&=0,80\times 15,00\:$\\ &=12,00\:$\end{align}|| On remarque que l'on obtient le même résultat qu'avec la méthode 1.

Calcul d'une facture après le rabais et les taxes

Dans certains problèmes, on demandera de calculer le montant après rabais et après taxes à partir d'un montant de base. Plusieurs méthodes permettent d'y arriver. Nous en présenterons une.

1. Calculer le montant après le rabais à partir du montant initial et du pourcentage de rabais.

2. Calculer le montant total à partir du montant trouver à l'étape 1 et du pourcentage de taxes.

À partir d'un montant donné, il est possible d'ajouter les taxes en premier, puis d'enlever le rabais de ce nouveau montant.

Ceci est dû aux propriétés d'associativité et de commutativité de la multiplication.

Cependant, on calcule généralement le rabais en premier lieu.
Dans l'exemple suivant, nous considérerons que la somme de la TPS et de la TVQ est de |15\:\%|.

Hugo se rend dans une boutique de sport pour se procurer une nouvelle planche à neige. Comme c'est la fin de la saison, il y a un rabais de 30 % sur tout en magasin. Hugo remarque une planche à neige qu'il aimerait bien. Sachant que Hugo a un budget de 450 $, pourra-t-il se procurer cette planche à neige?
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1. Calculer le montant après le rabais à partir du montant initial et du pourcentage de rabais.
On doit premièrement calculer le montant du rabais de |30\:\%| avant de le soustraire au montant initial.
||\begin{align}30\:\%\times 525\:$&=0,30\times 525\:$\\ &=157,50\:$\end{align}|| Le montant après le rabais est donc de ||525\:$-157,50\:$=367,50\:$||
2. Calculer le montant total de la facture à partir du montant trouver à l'étape 1 et du pourcentage de taxes.
On doit premièrement calculer le montant des taxes de |15\:\%| avant de l'additionner au montant trouvé à l'étape 1.
||\begin{align}15\:\%\times 367,50\:$&=0,15\times 367,50\:$\\ &=55,125\:$\\ &\approx 55,13\:$\end{align}||
Le montant total de la facture est donc de ||367,50\:$+55,13\:$=422,63\:$||
Hugo pourra donc se procurer cette planche à neige tout en respectant son budget.

Calcul du montant initial à partir du montant après rabais et/ou après taxes.

Dans certains problèmes, on demandera de retrouver le montant initial à partir du montant total de la facture, c'est-à-dire à partir du montant après rabais et/ou après taxes. Pour les sections précédente de cette fiche, les calculs se rapportaient au calcul du «tant pour cent». Pour cette section, cependant, les calculs se rapporteront au calcul du «cent pour cent».

Encore une fois, plusieurs méthodes permettent de retrouver le montant initial. Nous en présenterons une.
1. Calculer le montant avant taxes à l'aide d'une proportion.

2. Calculer le montant avant le rabais à l'aide d'une proportion à partir du montant trouvé à l'étape 1.

Pour certains problèmes, le prix final inclura uniquement les taxes ou uniquement le rabais. Dans ces cas, on peut retrouver le montant initial en appliquant l'étape 1 seulement.

Annick vient de se procurer une télévision qu'elle a payé 460,45 $. Le magasin d'éléctronique où elle a fait son achat lui a offert un rabais de 25 %. Retrouve le prix initial de la télévision sachant que le prix qu'Annick a payé inclut les taxes de 15 %.
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1. Calculer le montant avant taxes.
Comme les taxes sont de |15\:\%|, le pourcentage représentant le montant après taxes, |\color{blue}{460,45}\:$|, correspond à |\color{blue}{115}\:\%|. Le montant avant taxes, lui, correspond à |100\:\%|.

On obtient donc la proportion suivante:
||\displaystyle \frac{\color{blue}{115}}{100}=\frac{\color{blue}{460,45}\:$}{?\ $}||En effectuant un produit croisé, on obtient
||\begin{align} ?&=\frac{100\times 460,45\:$}{115}\\ \\?&\approx 400,39\:$\end{align}||

2. Calculer le montant avant le rabais à partir du montant trouvé à l'étape 1.
On procède sensiblement comme à l'étape 1.
Comme le rabais est de |25\:\%|, le pourcentage représentant le montant après le rabais, |\color{blue}{400,39}\:$|, correspond à |\color{blue}{75}\:\%|. Le montant avant le rabais, lui, correspond à |100\:\%|.

On obtient donc la proportion suivante:
||\displaystyle \frac{\color{blue}{75}}{100}=\frac{\color{blue}{400,39}\:$}{?\:$}||
En effectuant un produit croisé, on obtient le montant avant taxes. ||\begin{align} ?&=\frac{100\times 400,39\:$}{75}\\ \\ ?&\approx533,85\:$\end{align}||
Le montant initial (avant le rabais et avant les taxes) était donc de |533,85\:$|.

Les vidéos
 
Les exercices
Les références

Ce calcul de la taxe au Québec est en vigueur depuis le 1 janvier 2013. Pour plus de détails, veuillez vous référer à Revenu Québec.