Mathématique m1039

Les propriétés des nombres entiers naturels

​Il est possible d'établir des sous-classes des nombres entiers naturels |(\mathbb{N})| en fonction de certaines de leurs caractéristiques.

Les nombres pairs

Un nombre pair est un nombre entier divisible par |\small 2|

Un nombre pair représente une quantité que l’on peut regrouper en paquets de |2| unités sans obtenir de reste. En d'autres mots, on peut définir un nombre pair comme un nombre entie​​​r divisible par |2|, dont le quotient de la division par |2| est aussi un nombre entier (ex.: |\small 6\div 2 = 3|).

Avec le nombre |\small 8|, on peut faire |\small 4| paquets de |\small 2| unités sans qu'il n'y ait de reste.
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De plus, on remarque que le nombre |\small 8| est divisible par |\small 2|. ||8\div 2=4||

Donc, le nombre |\small 8| peut être qualifié de nombre pair.

On peut reconnaître un nombre pair grâce au chiffre occupant la position des unités. En effet, les nombres pairs ne peuvent que se terminer par les chiffres ||0,2,4,6,8||

Les nombres suivants sont des nombres pairs car ils se terminent par un des 5 chiffres possibles à la position des unités. ||2 00\color{blue}{0}, 10\color{blue}{4}, \color{blue}{4}, 3\color{blue}{2}, 6\color{blue}{6}, 19\color{blue}{8}, 700\ 00\color{blue}{0}||

Les nombres impairs

Un nombre impair est un nombre entier non divisible par |\small 2|.

Un nombre impair représente une quantité que l’on ne peut pas regrouper en paquets de |\small 2| sans obtenir de reste. La division d'un nombre impair par |\small 2| donnerait un nombre fractionnaire​ ou ​décimal​ comme réponse.

Avec le nombre |\small 7|, on n’arrive pas à faire des paquets de |\small 2| sans reste. On aura |\small 3| paquets de |\small 2| unités et un reste d’une unité.
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On peut reconnaître un nombre impair grâce au chiffre occupant la position des unités. En effet, les nombres impairs ne peuvent que se terminer par les chiffres ||1,3,5,7,9||

Les nombres suivants sont des nombres impairs, car ils se terminent par un des 5 chiffres possibles à la position des unités.||10\color{green}{5}, 5\color{green}{3}, 1\color{green}{7}, \color{green}{9}, 2\color{green}{1}, 5\color{green}{9}, 10\color{green}{3}, 98\ 00\color{green}{7}||

Les nombres premiers

Un nombre premier est un nombre naturel qui n’a que 2 diviseurs positifs différents, c’est-à-dire |1| et lui-même.

Le nombre 0
Le nombre |\small 0| possède une infinité de diviseurs. ||0\div1=0\\0\div2=0\\0\div3=0\\...||
De plus, le nombre |\small 0| ne peut pas être divisé par lui-même, car la division par |\small 0| est une opération non définie.
Il n'est donc pas un nombre premier.

Le nombre 1
Le nombre |\small 1| n'est pas considéré comme étant un nombre premier, car il ne possède pas 2 diviseurs différents. En effet, il n'a que |\small 1| comme diviseur.

Exemple 1
Le nombre |\small 11| est-il un nombre premier ?
Les 2 seuls nombres qui divisent |\small 11| sans laisser de reste sont |\small 1| et |\small 11|.
Donc, |\small 11| est un nombre premier.

Exemple 2
Le nombre |\small 29| est-il un nombre premier ?
Les 2 seuls nombres qui divisent |\small 29| sans laisser de reste sont |\small 1| et |\small 29|.
Donc, |\small 29| est un nombre premier.

Exemple 3
Le nombre |\small 49| est-il un nombre premier ?
|\small 49| est divisible par |\small 1|, |\small 7| et |\small 49|. Comme il possède trois diviseurs différents, |\small 49| n'est pas un nombre premier. On dira de |\small 49| qu'il est un nombre composé.​

De par la définition, il est possible de dresser une liste des nombres premiers contenus dans notre système de numération.

Liste des nombres premiers inférieurs à |1000|
​|2||3| ​|5| ​|7| ​|11||13| |​17| ​|19||​23|​|29|
​|31||​37|​|41||​43||​47|​|53|​|59|​|61|​|67||71​|
​|73|​|79|​|83|​|89||97|​|101|​|103||​107|​|109|​|113|
​|127|​|131|​|137|​|139|​|149|​|151|​|157|​|163|​|167|​|173|
|​179||​181|​|191|​|193|​|197|​|199|​|211||​223|​|227||​229|
​|233||​239||​241||​251|​|257|​|263|​|269|​|271||​277|​|281|
​|283||​293|​|307|​|311|​|313|​|317|​|331|​|337|​|347|​|349|
​|353|​|359|​|367|​|373|​|379|​|383|​|389|​|397|​|401|​|409|
|​419|​|421|​|431|​|433|​|439|​|443|​|449|​|457|​|461|​|463|
​|467|​|479|​|487|​|491|​|499|​|503|​|509|​|521|​|523|​|541|
|​547|​|557|​|563|​|569|​|571|​|577|​|587|​|593|​|599|​|601|
​|607|​|613|​|617|​|619|​|631|​|641|​|643|​|647|​|653|​|659|
|​661|​|673|​|677|​|683|​|691|​|701|​|709|​|719|​|727|​|733|
|​739|​|743||751|​|757|​|761|​|769|​|773|​|787|​|797|​|809|
|​811|​|821|​|823|​|827|​|829|​|839|​|853|​|857|​|859|​|863|
|​877|​|881|​|883|​|887|​|907|​|911||​919|​|929|​|937|​|941|
|​947|​|953|​|967|​|971|​|977|​|983|​|991|​|997|

Par contre, les nombres entiers naturels se poursuivent jusqu'à l'infini. Ainsi, il est pratiquement impossible de dresser une liste exhaustive de tous les nombres premiers.​

​Pour certains mathématiciens et chercheurs, ce concept présente un défi en soi. Même s'il est théoriquement impossible de faire la liste de tous les nombres premiers, on peut quand même essayer de trouver celui avec la plus grande valeur. 

En 2016, une équipe de chercheurs de l'Université du Missouri​ a mis sur pied un système informatique qui leur a permis de trouver un nombre premier contenant​ 22 338 618 chiffres, ce qui le rend pratiquement impossible à lire! 

​Les nombres composés

Un nombre composé est un nombre qui a trois diviseurs positifs ou plus.


En d'autres mots, un nombre composé peut être exprimé comme le produit de deux nombres premiers ou plus (identiques ou distincts). Ainsi, un nombre composé peut être décomposé en facteurs premiers.

On nomme cette décomposition en facteurs premiers une factorisation première.

Le nombre 0
Même si le nombre |\small 0| possède une infinité de diviseurs, il n'est pas considéré comme un nombre composé puisqu'il ne possède aucune factorisation première.

Le nombre 1
Le nombre |\small 1| n'est pas considéré comme un nombre composé, car il ne possède pas au moins trois diviseurs.

Ces deux nombres sont les seuls nombres entiers qui ne sont ni des nombres premiers ni des nombres composés.

Tous les nombres entiers naturels dont la valeur est plus grande |\small 1| qui ne sont pas des nombres premiers sont conséquemment des nombres composés.

Exemple 1
Les diviseurs positifs de |\small 9| sont : |\small 1|, |\small 3| et |\small 9|.
Puisque le nombre |\small 9| possède 3 diviseurs, on dira que |\small 9| est un nombre composé.
Comme il est composé, ce nombre peut être exprimé comme un produit de nombres premiers (facteurs premiers).
||9=3\times 3||

Exemple 2
Les diviseurs positifs de |\small 24| sont : |\small 1|, |\small 2|, |\small 3|, |\small 4|, |\small 6|, |\small 8|, |\small 12| et |\small 24|.
Puisque le nombre |\small 24| possède plus de 3 diviseurs, on dira que |\small 24| est un nombre composé. Comme il est composé, ce nombre peut être exprimé comme un produit de nombres premiers (facteurs premiers).
||24=2\times2\times2\times3||

Exemple 3
Les diviseurs positifs de |\small 13| sont : |\small 1| et |\small 13| seulement.
Puisque le nombre |\small 13| ne possède pas 3 facteurs ou plus, il n'est pas un nombre composé. En fait, |\small 13| est un nombre premier.

Les nombres parfaits

Un nombre parfait est un nombre naturel dont la somme de ses diviseurs (positifs), excluant le nombre lui-même, est égale au nombre lui-même.

Exemple 1
|\small 6| est un nombre parfait, car la somme de ses diviseurs, sauf |\small 6|, est égal à lui-même.
||1+2+3 = 6||

Exemple 2
|\small 28| est un nombre parfait, car la somme de ses diviseurs, sauf |\small 28|, est égal à lui-même.
||1+2+4+7+14 = 28||

Exemple 3
|\small 10| n'est pas un nombre parfait, car la somme de ses diviseurs, |\small 10|, n'est pas égal à lui-même.
||1+2+5 \color{red}{\neq}10||

Les nombres carrés

Un nombre carré est un nombre pouvant s'exprimer sous la forme |\small n^2|, où |\small n| est un nombre entier naturel. ​

En d'autres mots, il s'agit d'un nombre qui résulte du produit d'un nombre entier naturel par lui-même.

Géométriquement parlant, les nombres carrés peuvent être représentés par des points disposés en carré.

 Voici la liste des quatre premiers nombres carrés.
 
On remarque que ces nombres peuveut s'exprimer sous la forme |\small n^2|. ||\phantom{6}1=1^2\\ \phantom{1}4=2^2\\ \phantom{1}9=3^2\\ 16=4^2||

Les nombres carrés et cubiques

Les nombres triangulaires

Un nombre triangulaire est un nombre pouvant être représenté par des points disposés en forme de triangle régulier.

 Voici la liste des quatres premiers nombres triangulaires.
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Les nombres carrés et triangulaires sont ce qu'on appelle des nombres polygonaux. Ce sont des nombres qui peuvent être représentés par des points disposés en forme de figures géométriques régulières.

Les vidéos
Les exercices
Les références