Mathématique m1041

Les caractéristiques d'un ensemble

On appelle cardinal d'un ensemble l'expression employée pour désigner le nombre d'éléments que contient l'ensemble.Les ensembles, selon les éléments qu'ils contiennent et les relations qui les relient, peuvent porter divers qualificatifs.

Ensemble vide

Un ensemble vide ne contient aucun élément. On le représente par le symbole « Ø » ou par deux accolades vides « { } ». 

Dans le diagramme de Venn ci-dessous, l'ensemble A est un ensemble vide (A = Ø) puisqu'il ne contient aucun élément.

Ensembles fini et infini

Un ensemble fini possède un nombre d'éléments précis. Ce nombre d'élément, que l'on nomme le cardinal d'un ensemble, est un nombre naturel.

A = {2, 4, 6, 8, 10} est un ensemble fini dont le cardinal est 3.
B = {1, 2, 3, ..., 100} est un ensemble fini dont le cardinal est 100.
C = {x |\mid| x est un nombre premier inférieur à 250}
D = {x |\mid| x est un diviseur de 27}

Un ensemble infini est un ensemble dont le cardinal n'est pas un nombre naturel. Cela signifie qu'il contient une infinité d'éléments. Les différents ensembles de nombres (|\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb Q', \mathbb R|) sont des ensembles infinis.

E = {x |\mid| x est une fraction équivalente à 3/4}
F = {x |\mid| x est un multiple de 5}
G = {x |\mid| x est un nombre réel |\mathbb R|}

Ensemble-solution

Un ensemble-solution regroupe l'ensemble des réponses d'un problème donné. Il peut contenir une ou plusieurs réponses selon le problème considéré.

L'ensemble-solution des diviseurs de 24 est A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

L'ensemble-solution de l'équation 2x + 5 = 25 est B = {10}.

L'ensemble-solution de l'équation 2a + 3b = 8 est C = {(4,0), (1,2), (-2,4), (-5,6), ...}.

L'ensemble-solution de l'inéquation 4x < 12 est D = {x | \in\mathbb R| |\mid| x < 3}.

Ensemble de nombres

Un ensemble de nombres est un ensemble dont tous les éléments sont des nombres. Cela correspond aux différents ensembles de nombres qui existent: les nombres naturels |(\mathbb N)|, les nombres entiers relatifs |(\mathbb Z)|, les nombres rationnels |(\mathbb Q)|, les nombres irrationnels |(\mathbb Q')|, les nombres décimaux |(\mathbb D)| et les nombres réels |(\mathbb R)|. Il existe également plusieurs autres ensembles de nombres, mais ceux-ci ne sont pas étudiés au niveau secondaire.

Ensembles disjoints

Des ensembles sont disjoints lorsque, pris deux à deux, ils n'ont aucun élément en commun. L'intersection entre deux ensembles disjoints est un ensemble vide et on peut écrire A ∩ B = Ø.

Dans le diagramme de Venn ci-dessous, l'ensemble A contient des nombres impairs alors que l'ensemble B contient des nombres pairs. Ce sont deux ensembles disjoints puisque leur intersection est vide.

Ensembles égaux et différents

Des ensembles égaux sont des ensembles qui contiennent exactement les mêmes éléments. Ainsi, seule l'intersection entre des ensembles égaux contient des éléments. Il ne peut y avoir un élément d'un ensemble qui ne fait pas partie de l'autre ensemble.

Dans le diagramme de Venn ci-dessous, les ensembles A = {2, 4} et B = {2, 4} sont égaux puisqu'ils contiennent exactement les mêmes éléments.

Deux ensembles qui ne sont pas égaux sont appelés des ensembles différents.

Ensemble référentiel

L'expression ensemble référentiel est synonyme d'ensemble de référence, d'ensemble universel, de domaine de définition, de référentiel. Dans le cadre d'une théorie ou d'un problème, l'ensemble référentiel représente l'ensemble de tous les éléments considérés. Il s'agit en quelque sorte d'un ensemble dans lequel on peut définir d'autres ensembles. On note généralement un ensemble référentiel par la lettre majuscule « U ».

Soit l'ensemble A = {2, 4, 6, 8} qui regroupe les nombres pairs présents dans l'ensemble référentiel U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Soit l'ensemble B = {x |\in \mathbb N| |\mid| x < 12} dont l'ensemble référentiel est |\mathbb N|.

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