Mathématique m1070

Les propriétés de la fonction rationnelle

Les propriétés de la fonction rationnelle de base

 

Les propriétés de la fonction rationnelle sous la forme canonique et sous la forme P/Q

​Propriétés
Forme canonique​
​Règle
​|f(x) = \frac{a}{b(x - h)} + k|
​Équations des asymptotes
​|x = h| et |y = k|
​Domaine
​|dom f = \mathbb{R} \backslash \left\{h\right\}|
​Image
​|ima f = \mathbb{R} \backslash \left\{k\right\}|
​Ordonnée à l'origine
​Si elle existe, c'est la valeur de |f(0)|. 
​Abscisse à l'origine (zéro de la fonction)
​S'il existe, c'est la valeur de |x| pour laquelle |f(x) = 0|.
​Croissance et décroissance
​-Si |a| et |b| sont du même signe, ou si |a_1 > 0|, alors la fonction est décroissante sur son domaine.
-Si |a| et |b| sont de signes contraires, ou si |a_1 < 0|, alors la fonction est croissante sur son domaine. 
​Signe de la fonction |f|
Selon l'équation de la fonction, pour un intervalle de valeurs de |x|, la fonction |f| est: 
-positive si |f(x) \geq 0| sur cet intervalle; 
-négative si |f(x) \leq 0| sur cet intervalle.​
​Extremums
Pas d'extremum (sauf si le contexte limite le domaine). ​


Déterminez les propriétés de la fonction rationnelle d'équation ||f(x)=\displaystyle - \frac{1}{2(x+1)}+2.||
Au départ, il peut être utile de tracer une esquisse graphique de la fonction.


-Le domaine de la fonction est |\mathbb{R} \backslash \lbrace -1 \rbrace|. La valeur de -1 est celle qui annulerait le dénominateur de la fraction, il faut donc l'éliminer.

-L'image de la fonction est |\mathbb{R} \backslash \lbrace 2 \rbrace|.

-L'ordonnée à l'origine se calcule en remplaçant |x| par 0 dans notre équation.
|\displaystyle f(0) = -\frac{1}{2(0+1)}+2|
|\displaystyle f(0) = -\frac{1}{2} + 2|
|\displaystyle f(0) = \frac{3}{2}|
Ainsi, l'ordonnée à l'origine de la fonction vaut |\displaystyle \frac{3}{2}|.

-L'abscisse à l'origine se calcule en remplaçant |f(x)| par 0 et en isolant ensuite |x|.
|0 = \displaystyle - \frac{1}{2(x+1)}+2|
|-2 = \displaystyle -\frac{1}{2(x+1)}|
|-2 \times 2(x+1) = -1|
|-4x -4 = -1|
|-4x = 3|
|\displaystyle x = -\frac{3}{4}|
Ainsi, l'abscisse à l'origine de la fonction vaut |\displaystyle - \frac{3}{4}|.

-Le centre des hyperboles est |(h,k)=(-1,2)|.

-Comme |a| et |b| sont de signes contraires, la fonction est croissante sur tout son domaine, c'est-à-dire sur |\mathbb{R} \backslash \lbrace -1 \rbrace|.

-Cette fonction ne possède aucun extremum.

-En utilisant l'abscisse à l'origine et le graphique, on peut déterminer que :
La fonction est positive sur |]-\infty,-1[ \cup [-\frac{3}{4}, +\infty[|.
La fonction est négative sur |]-1, -\frac{3}{4}]|.
Il est important d'exclure des intervalles la valeur de |x=-1|.

-Les axes de symétrie de la fonction sont donnés par les équations |y=(x+1)+2| qui est équivalente à |y=x+3| et puis |y=-(x+1)+2| qui est quant à elle équivalente à |y=-x+1|.

-Les équations des asymptotes sont |x=-1| et |y=2|.

 

Les propriétés des fonctions

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