Mathématique m1077

La factorisation d'un polynôme

La factorisation consiste à écrire une expression algébrique sous la forme d'un produit de facteurs.

Généralement, la factorisation permet de simplifier une expression algébrique afin de résoudre un problème plus facilement. Les facteurs obtenus après la factorisation sont des polynômes de degré inférieur (ou égal) au polynôme de départ. 

L'opération inverse à la factorisation se nomme le développement d'une expression algébrique.

 

La factorisation peut se faire suivant différentes techniques:

Étapes à suivre pour factoriser un polynôme

Les étapes à suivre pour factoriser un polynôme dépendent du nombre de terme qu'il contient. De façon générale, il convient de toujours s'assurer que le polynôme est factorisé à sa forme la plus complète, c'est pourquoi il peut arriver que plus d'une méthode de factorisation soit effectuée pour un même polynôme. 

Cas : binôme

Lorsque l'expression à factoriser est un binôme, il est préférable de suivre les étapes suivantes :

1. Effectuer une mise en évidence simple, si c'est possible.

2. Si le signe entre les deux termes du binôme est une soustraction, vérifier s'il est possible de faire une différence de carrés.

Cas : trinôme sous la forme |ax^2+bx+c|

Lorsque l'expression à factoriser est un trinôme, il est préférable de suivre les étapes suivantes : 

1. Effectuer une mise en évidence simple, si c'est possible.

2. Si les valeurs de |a| et |c| sont des carrés, vérifier si le trinôme est un carré parfait

3. Si le trinôme n'est pas un carré parfait, vérifier s'il est possible d'utiliser la méthode du produit-somme. Cette méthode est utile si |a|, |b| et |c| sont des nombres entiers. 

4. Si le trinôme n'est ni un carré parfait, ni factorisable avec la méthode produit-somme, on peut utiliser la méthode de la complétion du carré. Cette méthode peut toujours être utilisée, si le trinôme se factorise. 

Avant de tenter de factoriser un trinôme sous la forme |ax^2+bx+c|, il peut être utile de calculer le discriminant de celui-ci. On appelle discriminant |\left(\Delta\right)| d'un trinôme, sous la forme |ax^2+bx+c|, la valeur de l'expression |b^2-4ac|.

Lorsque la valeur du discriminant est négative, le trinôme ne peut pas se factoriser.

Voici un exemple : 
Calculez le discriminant du trinôme |2x^2-4x+7|.

Dans ce trinôme, |a=2|, |b=-4| et |c=7| on calcule le discriminant:||\begin{align}\Delta&=b^2-4ac\\ & = (-4)^2-(4 \cdot 2 \cdot7)\\ &=16-56\\ &=-40\end{align}|| Comme le discriminant est négatif, le trinôme |2x^2-4x+7| n'est pas factorisable.

Cas : nombre de termes supérieurs à 3

Lorsque l'expression à factoriser contient plus de 3 termes, on peut suivre la démarche suivante:

1. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple.

2. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence double.


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