Mathématique m1077

La factorisation d'un polynôme

La factorisation consiste à écrire une expression algébrique sous la forme d'un produit de facteurs.

Généralement, la factorisation permet de simplifier une expression algébrique afin de résoudre un problème plus facilement. Les facteurs obtenus après la factorisation sont des polynômes de degré inférieur (ou égal) au polynôme de départ. 

L'opération inverse à la factorisation se nomme le développement d'une expression algébrique.

La factorisation peut se faire suivant différentes techniques:

Étapes à suivre pour factoriser un polynôme

Cas : binôme

Lorsque l'expression à factoriser est un binôme, il est préférable d'y aller en suivant les étapes suivantes :

1. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple.

2. Si le signe entre les deux termes du binômes est une soustraction, vérifier s'il est possible de faire une différence de carrés.

Cas : nombre de termes supérieur à 3

Lorsque l'expression à factoriser contient plus de 3 termes, on peut suivre la démarche suivante:

1. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple.

2. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence double.

Cas : trinôme sous la forme |ax^2+bx+c|

On appelle discriminant d'un trinôme, sous la forme |ax^2+bx+c|, la valeur de l'expression |b^2-4ac|.

Remarque: Il arrive que l'on rencontre le symbole |\Delta| plutôt que l'expression |b^2-4ac|. Ce symbole correspond à la lettre grecque delta.

 

Calculez le discriminant du trinôme |2x^2-4x+7|.

Dans ce trinôme, |a=2|, |b=-4| et |c=7|.

Ainsi, on obtient |b^2-4ac = (-4)^2-(4 \cdot 2 \cdot7)|.

Ce qui vaut |16-56 = -40|.

 

Avant de tenter de factoriser un trinôme sous la forme |ax^2+bx+c|, il peut être utile de calculer le discriminant de celui-ci.

Lorsque la valeur du discriminant est négative, le trinôme ne peut pas se factoriser.

Lorsque l'expression à factoriser est un trinôme sous la forme |ax^2+bx+c|, il est préférable de suivre les étapes suivantes (si le trinôme se factorise):

1. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple.

2. Vérifier si les valeurs de |a| et |c| sont des carrés. Si oui, vérifier si le trinôme est un carré parfait.

3. Si le trinôme n'est pas un trinôme carré parfait, vérifier s'il est possible d'utiliser la méthode du produit-somme. Cette méthode sera utile si |a|, |b| et |c| sont des nombres entiers.

4. Si les deux étapes précédentes ont échouées, on peut utiliser la méthode de la complétion du carré. Cette méthode peut toujours être utilisée, si le trinôme se factorise.

 

De manière générale, on peut suivre les étapes suivantes:
1. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence simple;
2. Vérifier s'il est possible d'effectuer une mise en évidence double;
3. Regarder s'il est possible d'effectuer une différence de carrés;
4. Si le polynôme a trois termes, regarder le type de trinôme.

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