Mathématique m1078

La simplification des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle a la même forme qu’une division de deux polynômes.

Par exemple: |\displaystyle \frac{2x+3}{x^{2}+6x+8}|

Avant d’effectuer diverses opérations sur des fractions rationnelles, il faut toujours s’assurer que la fraction rationnelle a été simplifiée. Simplifier une fraction rationnelle, c'est rechercher des facteurs communs au numérateur et au dénominateur afin de les simplifier. Pour ce faire, on suit la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur.

2. On établit les restrictions.

3. On simplifie les facteurs communs aux deux polynômes.

On peut ensuite effectuer les opérations suivantes:

La maîtrise des différentes techniques de factorisation est un élément clé pour réussir à simplifier des fractions rationnelles.

Puisqu'il est impossible de diviser par 0, il faut poser des restrictions dans une fraction rationnelle afin que le dénominateur n'égal pas 0. Une division par 0 n’existe pas. C’est une valeur non définie.

Ces restrictions doivent être posées avant de simplifier l'expression rationnelle.

Il faut donc identifier les valeurs possibles que peuvent prendre les variables du polynôme du dénominateur pour que ce polynôme nous donne une valeur 0.

Soit la fraction rationnelle suivante::

|\displaystyle \frac{x-7}{x-3}|

Cette fraction rationnelle est irréductible. On ne peut donc qu'établir les restrictions, c'est-à-dire les valeurs de |x| pour lesquelles le dénominateur s'annule.

|x – 3| est le dénominateur.

Pour poser la restriction:

|x - 3 \neq 0|
|x \neq 3|

Restrictions: On ne peut pas attribuer la valeur |3| à la variable |x|, car sinon la fraction aurait alors une valeur non définie.

 

Soit la fraction rationnelle suivante:
|\displaystyle \frac{x^{2}+10x+25}{x^{3}+5x^{2}}|

On peut factoriser le trinôme au numérateur par la technique du produit et de la somme:

|\displaystyle \frac{x^{2}+5x+5x+25}{x^{3}+5x^{2}}|
|=\displaystyle \frac{x(x+5)+5(x+5)}{x^{3}+5x^{2}}|
|=\displaystyle \frac{(x+5)(x+5)}{x^{3}+5x^{2}}|
 
On fait une mise en évidence simple avec le dénominateur:

|\displaystyle \frac{(x+5)(x+5)}{x^{2}(x+5)}|

On pose les restrictions. Ici, on aura deux restrictions étant donné qu'il y a deux facteurs au dénominateur.

|x^2 \neq 0| donc |x \neq 0|
|x + 5 \neq 0| donc |x \neq -5|

Puisqu'on a le terme |x+5| en haut et en bas, on peut le simplifier et cela donnera le résultat suivant:

|\displaystyle \frac{(x+5)}{x^{2}}| où |x \neq -5| et |x \neq 0|

Restrictions: On ne peut pas attribuer les valeurs |-5| et |0| à la variable |x|, puisque la fraction aurait une valeur non définie si c'était le cas.

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