Mathématique m1079

L'addition et la soustraction de fractions rationnelles

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles, on suit la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On pose toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

3. On simplifie les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).

4. On trouve un dénominateur commun.

5. On effectue l’addition ou la soustraction.

6. On simplifie à nouveau les facteurs communs (si nécessaire).

Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x}{x-2} + \frac{2}{x-1}|

1. Les polynômes au numérateur et au dénominateur sont déjà factorisés.

2. Poser les restrictions, c'est-à-dire trouver les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.

|x-2 \neq 0 \to x \neq 2|
|x-1 \neq 0 \to x \neq 1|

3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.

4. Trouver un dénominateur commun.

Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur |(x-2)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.

| \displaystyle \frac{x\cdot (x-1)}{(x-2)\cdot (x-1)} + \frac{2\cdot (x-2)}{(x-1)\cdot (x-2)}|

5. Additionner les deux fractions.

|\displaystyle \frac{x\cdot (x-1) + 2\cdot (x-2)}{(x-2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{x^2 - x + 2x - 4}{(x-2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{x^2 + x - 4}{(x-2)\cdot (x-1)}|

6. Il n’y a pas de facteurs communs alors la simplification s’arrête ici.

Réponse:
On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\displaystyle\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x-1}= \frac{x^2 + x -4}{(x-2)\cdot (x-1)}| où |x \neq 1| et |x \neq 2|

Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x-3}{x^2+3x+2} + \frac{x-2}{x^2-1}|

1. On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera |x^2+3x+2| par un cas de trinôme et |x^2-1| se factorisera à l’aide d’une différence de carrés.
|x^2+3x+2 = (x+1)\cdot (x+2)|
|x^2-1 = (x+1)\cdot (x-1)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{x-3}{(x+1)\cdot (x+2)} + \frac{x-2}{(x+1)\cdot (x-1)}|

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+2 \neq 0 \to x \neq -2|
|x-1 \neq 0 \to x \neq 1|

3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.

4. Trouvons un dénominateur commun.

Il manque le facteur |(x-1)| au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur |(x+2)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.
|\displaystyle \frac{(x-3)\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)} + \frac {(x-2)\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot (x-1)\cdot (x+2)}|

5. Additionnons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{(x-3)\cdot (x-1) + (x-2)\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{(x^2 - x - 3x + 3) + (x^2 + 2x - 2x - 4)}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{(x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 4)}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 3 + x^2 - 4}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}|

|=\displaystyle \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}|

6. Il n’y a pas de facteur commun alors la simplification s’arrête ici.

Réponse:
On écrit la fraction rationnelle simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions que trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x-3}{x^2+3x+2} + \frac{x-2}{x^2-1} = \frac{2x^2 - 4x - 1}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-1)}| où |x \neq -2|, |x \neq -1| et |x\neq 1|

Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+1} - \frac{x+3}{x^2+4x+3}|

1. On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera |x^2+2x+1| par un cas de trinôme et |x^2+4x+3| se factorisera aussi à l’aide d’un cas de trinôme.
|x^2+2x+1 = (x+1)\cdot (x+1)|
|x^2+4x+3 = (x+1)\cdot (x+3)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x+1)}{(x+1)\cdot (x+1)} - \frac{(x+3)}{(x+3)\cdot (x+1)}|

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+3 \neq 0 \to x \neq -3|

3. On peut simplifier des facteurs communs.
|\displaystyle \frac{\color{red}{(x+1)}}{\color{red}{(x+1)}\cdot (x+1)} - \frac{\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{(x+3)}\cdot (x+1)}|

|=\displaystyle \frac{1}{(x+1)} - \frac{1}{(x+1)}|

4. Les deux fractions ont le même dénominateur.

5. Soustrayons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{1-1}{(x+1)} = \frac{0}{(x+1)} = 0|

6. Il n’y a rien d’autre que l’on peut simplifier.

Réponse:
On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.

|\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+1} - \frac{x+3}{x^2+4x+3}= 0| où |x\neq -1| et |x\neq -3|

 

Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x-2}{x^2+4x+3} - \frac{2x+1}{x+3}|

1. On peut factoriser le polynôme du premier dénominateur. On factorisera |x^2+4x+3| par un cas de trinôme.
|x^2+4x+3 = (x+1)\cdot (x+3)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x-2)}{(x+1)\cdot (x+3)} - \frac{(2x+1)}{(x+3)}|

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x+1 \neq 0 \to x \neq -1|
|x+3 \neq 0 \to x \neq -3|

3. Il n'y a pas de facteurs communs.

4. Trouvons un dénominateur commun.

Il manque le facteur |(x+1)| au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fractions équivalentes pour qu’elles aient le même dénominateur.
|\displaystyle \frac{(x-2)}{(x+1)\cdot (x+3)} + \frac{(2x+1)\cdot (x+1)}{(x+3)\cdot (x+1)}|

5. Soustrayons les deux fractions.
|\displaystyle \frac{(x-2)-(2x+1)\cdot (x+1)}{(x+1)\cdot (x+3)}|

|=\displaystyle \frac{x-2-2x^2+2x+x+1}{(x+1)\cdot (x+3)}|

|=\displaystyle \frac{-2x^2-2x-3}{(x+1)\cdot (x+3)}|

6. Il n’y rien d’autre que l’on peut simplifier.

Réponse:
On écrit la réponse obtenue en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x-2}{x^2+4x+3} - \frac{2x+1}{x+3} = \frac{-2x^2-2x-3}{(x+1)\cdot (x+3)}| où |x\neq -3| et |x\neq -1|

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