Mathématique m1081

La multiplication de fractions rationnelles

Pour multiplier deux fractions rationnelles, on doit suivre la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On pose toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

3. On simplifie les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).

4. On effectue la multiplication.

Soit la multiplication des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{2x^2+13x+20} \times \frac{x^2+7x+12}{2x^2+7x+6}|

1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur. Les quatre polynômes se factoriseront par des cas de trinômes.
|x^2+3x+2 = (x+1)\cdot (x+2)|
|2x^2+13x+20 = (2x+5)\cdot (x+4)|
|x^2+7x+12 = (x+3)\cdot (x+4)|
|2x^2+7x+6 = (2x+3)\cdot (x+2)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{(2x+5)\cdot (x+4)} \times \frac{(x+3)\cdot (x+4)}{(2x+3)\cdot (x+2)}|

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|2x+5 \neq 0 \to x\neq -5/2|
|x+4 \neq\ 0 \to x \neq -4|
|2x+3 \neq 0 \to x \neq -3/2|
|x+2 \neq 0 \to x \neq -2|

3. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.
|\displaystyle \frac{(x+1)\cdot \color{red}{(x+2)}}{(2x+5)\cdot \color{blue}{(x+4)}} \times \frac{(x+3)\cdot \color{blue}{(x+4)}}{(2x+3)\cdot \color{red}{(x+2)}}|

|=\displaystyle \frac{(x+1)}{(2x+5)} \times \frac{(x+3)}{(2x+3)}|

4. Multiplions les deux fractions.
|\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+3)}{(2x+5)\cdot (2x+3)}|

|=\displaystyle \frac{x^2+3x+x+3}{4x^2+6x+10x+15}|

|=\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{4x^2+16x+15}|

Réponse:
Il faut écrire l'expression simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{2x^2+13x+20} \times \frac{x^2+7x+12}{2x^2+7x+6} =  \frac{x^2+4x+3}{4x^2+16x+15}| où |x\neq -4|, |x\neq -5/2|, |x\neq -3/2| et |x\neq -2|

Soit la multiplication des fractions rationnelles suivantes:
|\displaystyle \frac{4-x^2}{x-2}\times \frac{-x}{2x+4}|

1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur.
|4-x^2 = (2-x)\cdot (2+x) = (-x+2)\cdot (x+2) = -(x-2)\cdot (x+2)|
|2x+4 = 2(x+2)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes:
|\displaystyle \frac{-(x-2)\cdot (x+2)}{(x-2)}\times \frac{-x}{2\cdot (x+2)}|

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de |x| pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de |0|.
|x-2 \neq 0 \to x\neq 2|
|x+2 \neq 0 \to x\neq -2|

3. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.
|\displaystyle \frac{-\color{blue}{(x-2)}\cdot \color{red}{(x+2)}}{\color{blue}{(x-2)}} \times \frac{-x}{2\cdot \color{red}{(x+2)}}|

|=\displaystyle \frac{-1}{1} \times \frac{-x}{2}|

4. Multiplions les deux fractions.
|\displaystyle \frac{-1}{1}\times \frac{-x}{2} = \frac{x}{2}|

Réponse:
Il faut écrire l'expression simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{4-x^2}{x-2} \times \frac{-x}{2x+4} =  \frac{x}{2}| où |x\neq -2| et |x\neq 2|

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