Mathématique m1082

La division de fractions rationnelles

Pour diviser deux fractions rationnelles, on doit suivre la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On pose toutes les restrictions sur les termes en couleur:
|\displaystyle \frac{a}{{\color{Red} b}} \div \frac{{\color{Red}c}}{{\color{Red} d}}|.

3. On effectue la divison en la transformant en multiplication, en procédant ainsi:
|\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} {\color{Magenta} \times} \frac{d}{c}|.

4. On simplifie les facteurs communs.

Soit la division des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{x^2+8x+16}{2x^3+8x^2-3x-12} \div \frac{x+4}{2}|

1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur.
Le polynôme |x^2+8x+16| se factorisera par un cas de trinôme.
Le polynôme |2x^3+8x^2-3x-12| se factorisera par une mise en évidence double.

|x^2+8x+16 = (x+4)\cdot (x+4)|
|2x^3+8x^2-3x-12 = 2x^2\cdot (x+4) -3 \cdot (x+4) = (x+4)\cdot (2x^2-3)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{(x+4)\cdot (x+4)}{(x+4)\cdot (2x^2-3)} \div \frac{x+4}{2}|

2. On pose les restrictions.
|2x^2-3 \neq \rightarrow x \neq \pm \sqrt{\frac{3}{2}}|
|x+4 \neq 0 \rightarrow x \neq -4|

3. On transforme la division.
|\displaystyle \frac{(x+4)\cdot (x+4)}{(2x^2-3) \cdot (x+4)} {\color{Magenta} \times} \frac{2}{x+4}|

4. On simplifie les facteurs communs.
|\displaystyle \frac{ \color{Red} {(x+4)} \cdot \color{Blue} {(x+4)}}{(2x^2-3) \cdot \color{Red} {(x+4)}} \times \frac{2}{\color{Blue} {(x+4)}}|

|=\displaystyle \frac{2}{2x^2-3}|

Réponse:
Il faut écrire l'expression simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{2}{2x^2-3}| où |x\neq -4| et |x\neq \pm \sqrt{\frac{3}{2}}|

Soit la division des fractions rationnelles suivantes :
|\displaystyle \frac{c^3-cd^2}{c^3} \div \frac{c+d}{c}|

1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur. Le polynôme |c^3-cd^2| se factorisera par une mise en évidence simple suivie d’une différence de carrés.
|c^3-cd^2 = c\cdot (c^2-d^2) = c\cdot (c-d)\cdot (c+d)|

Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :
|\displaystyle \frac{c\cdot (c-d)\cdot (c+d)}{c\cdot c\cdot c}\div \frac{c+d}{c}|

2. On doit poser les restrictions.
|c \neq 0|
|c + d \neq 0 \rightarrow c \neq -d|

3. On transforme la division.
|\displaystyle \frac{c \cdot (c-d) \cdot (c+d)}{c^3} {\color{Magenta}\times} \frac{c}{c+d}|

4. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.
|\displaystyle \frac{\color{red}{c}\cdot (c-d)\cdot \color{blue}{(c+d)}}{\color{red}{c}\cdot \color{green}{c}\cdot c}\times \frac{\color{green}{c}}{\color{blue}{(c+d)}}|

|=\displaystyle \frac{(c-d)}{c}\times \frac{1}{1}|

|=\displaystyle \frac{(c-d)}{c}\times \frac{1}{1} = \frac{(c-d)}{c}|

Réponse:
Il faut écrire la fraction simplifiée en n’oubliant pas de donner les restrictions trouvées initialement.
|\displaystyle \frac{c^3-cd^2}{c^3} \div \frac{c+d}{c} =  \frac{c-d}{c}| où |c\neq 0| et |c\neq -d|

Les vidéos
 
Les exercices
Les références