Mathématique m1085

Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré

Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré, il est possible d'utiliser différentes méthodes générales (la balance, les opérations inverses, le terme caché et l'essai-erreur). Ces méthodes sont expliquées dans la fiche suivante:

Les méthodes générales de résolution d'équations

La résolution d'une équation du premier degré à une variable

Une équation du premier degré à une variable est une équation qui peut se ramener à la forme |0= ax + b|.

Lorsque l'on résout une telle équation, on tente de déterminer la valeur de la variable qui solutionne l'équation. Pour ce faire, il est primordial de se rappeler que, pour respecter l’égalité dans l’équation, il faut appliquer les mêmes manipulations à gauche et à droite de l’égalité.

Les règles de transformation des équations

 

Quelle est la valeur de |x| dans l’équation ci-dessous? ||2x + 3 = 7|| 1. Pour faire disparaître le terme |+3| de gauche, il faut soustraire |3| aux deux membres de l'équation. ||\begin{align}2x + 3 \color{red}{– 3}& = 7 \color{red}{– 3}\\
2x &= 4\end{align}|| 2. On cherche à trouver la valeur d’un seul |x|. Pour ce faire, il faut diviser  chaque côté de l'égalité par |2|. ||\begin{align}\displaystyle \frac{2x}{\color{red}{2}}&=\frac{4}{\color{red}{2}}\\
x &= 2\end{align}|| Réponse: La valeur de |x| est de |2|.

Quelle est la valeur de |x| dans l'équation ci-dessous? ||\displaystyle \frac{2x}{3} - 16 = -6|| 1. Pour faire disparaître le terme |-16| de gauche, il faut additionner |16| aux deux membres de l'équation. ||\begin{align}\displaystyle \frac{2x}{3} - 16 \color{red}{+ 16} &= -6 \color{red}{+ 16}\\
\displaystyle \frac{2x}{3} &= 10\end{align}|| 2. On cherche à isoler le |2x|. Il faut donc multiplier les deux membres de l'équation par |3|. ||\begin{align}\displaystyle \frac{2x}{3}\times \color{red}{3}& = 10\times \color{red}{3}\\
2x &= 30\end{align}|| 3. Afin d'isoler le |x|, il faut diviser les deux membres de l'équation par |2|. ||\begin{align}\displaystyle \frac{2x}{\color{red}{2}} &= \frac{30}{\color{red}{2}}\\
x &= 15\end{align}||Réponse: La valeur de |x| est de |15|.

Quelle est la valeur de |x| dans l'équation ci-dessous? ||\displaystyle -2(x-9)=\frac{7}{3}|| 1. On distribue |-2| à tous les termes de la parenthèse. ||\displaystyle -2x+18=\frac{7}{3}|| 2. On met les termes constants du même côté de l'égalité. ||\begin{align}\displaystyle -2x+18\color{red}{-18}&=\frac{7}{3}\color{red}{-18}\\
-2x&=-\frac{47}{3}\end{align}|| 3. On divise par |-2| de chaque côté de l'égalité. ||\begin{align}\displaystyle -2x\color{red}{\div -2}&=-\frac{47}{3}\color{red}{\div -2}\\
x&=\frac{47}{6}\end{align}||Remarque: Comme la division ne donne pas un nombre décimal fini, il est préférable de laisser la réponse en fraction.

Réponse: La valeur de |x| est de |\displaystyle \frac{47}{6}|.

Lorsque l'équation comporte plusieurs fractions ayant des dénominateurs différents, on peut mettre tous les termes sur un dénominateur commun. Par la suite, on enlève les dénominateurs pour ne conserver que le  numérateur de chaque terme. Ce truc est expliqué dans l'exemple ci-dessous.

Quelle est la valeur de |x| dans l'équation ci-desssous? ||\displaystyle \frac{8}{3}x+1=\frac{5}{9}x-\frac{1}{4}|| 1. On met tous les termes sur un dénominateur commun. Prenons |36|. ||\begin{align} \displaystyle \frac{8\color{blue}{\times 12}}{3\color{blue}{\times 12}}x+\frac{1\color{blue}{\times 36}}{1\color{blue}{\times 36}}&=\frac{5\color{blue}{\times 4}}{9\color{blue}{\times 4}}x-\frac{1\color{blue}{\times 9}}{4\color{blue}{\times 9}}\\
\\
\frac{96}{36}x+\frac{36}{36}&=\frac{20}{36}x-\frac{9}{36}\end{align}|| 2. Comme tous les termes ont un dénominateur commun, on peut l'enlever et ne conserver que les numérateurs. ||96x+36=20x-9|| 3. On regroupe les termes contenant la variable |x| du même côté de l'égalité. ||\begin{align}96x+36\color{red}{-20x}&=20x-9\color{red}{-20x}\\
76x+36&=-9\end{align}|| 4. On regroupe les termes constants de l'autre côté de l'égalité. ||\begin{align}76x+36\color{red}{-36}&=-9\color{red}{-36}\\
76x&=-45\end{align}|| 5. On divise par |76| les deux termes de l'équation. ||\begin{align} \displaystyle \frac{76x}{\color{red}{76}}&=\frac{-45}{\color{red}{76}}\\
x&=-\frac{45}{76}\end{align}|| Réponse: La valeur de |x| est de |\displaystyle -\frac{45}{76}|.

La résolution d’inéquations du premier degré à une variable

Comme les équations du premier degré, les inéquations du premier degré peuvent avoir une seule variable. Pour résoudre une inéquation, on procède sensiblement de la même façon que pour résoudre une équation: on isole la variable désirée. La différence entre les équations et les inéquations réside dans le signe d’inégalité.

Pour résoudre une inéquation, il est primordial de se rappeler qu'il faut appliquer les mêmes manipulations à gauche et à droite de l’égalité. 

Les règles de transformation des inéquations

Soit l'inégalité suivante: ||2x + 5 \le 9|| 1. On regroupe les termes constants du même côté de l'égalité. ||\begin{align}2x + 5 \color{red}{- 5} &\le 9 \color{red}{- 5}\\
2x &\le 4\end{align}|| 2. On divise par |2| les deux membres de l'inéquation. ||\begin{align}\displaystyle \frac{2x}{\color{red}{2}} &\le \frac{4}{\color{red}{2}}\\
x& \le 2\end{align}|| Réponse: Le |x| est plus petit ou égal à |2|.

Lorsque l’on divise ou que l’on multiplie par un nombre négatif, on doit changer le sens du signe d'inégalité.
Soit l’inégalité suivante : ||10 - 2x > 3x + 15|| 1. On regroupe les termes contenant la variable |x| du même côté de l'égalité.||\begin{align}10 - 2x \color{red}{- 3x} &> 3x + 15 \color{red}{- 3x}\\
10 - 5x &> 15\end{align}|| 2. On regroupe les termes constants de l'autre côté de l'inégalité. ||\begin{align}10 - 5x \color{red}{- 10} &> 15 \color{red}{- 10}\\
-5x &> 5\end{align}|| 3. On divise par |-5| les deux termes de l'inéquation. ||\begin{align}\displaystyle \frac{-5x}{\color{red}{-5}} &> \frac{5}{\color{red}{-5}}\\
x &\color{blue}{<} -1\end{align}|| Remarque: Comme il y a une division par un nombre négatif, le sens du signe d'inégalité a été changé.

Réponse: Les valeurs de |x| doivent être plus petites que |-1|.

 

Soit l'inéquation suivante: ||\displaystyle \frac{-11x + 15}{3} < 6 - 4x|| 1. On élimine le dénominateur du membre de gauche de l'inéquation. Pour ce faire, on multiplie par |3| de part et d'autre de l'inégalité. ||\begin{align}\displaystyle \frac{-11x + 15}{3}\times \color{red}{3} &< (6 - 4x)\times \color{red}{3}\\
-11x + 15 &< 18 - 12x\end{align}|| 2. On regroupe les termes contenant la variable |x| du même côté de l'inégalité. ||\begin{align}-11x + 15 \color{red}{+ 12x}& < 18 - 12x \color{red}{+ 12x}\\
x + 15 &< 18\end{align}|| 3. On regroupe les termes constants de l'autre côté de l'inégalité. ||\begin{align}x + 15 \color{red}{- 15} &< 18 \color{red}{- 15}\\
x& < 3\end{align}|| Réponse: Les valeurs de |x| doivent être plus petites que |3|.

On peut représenter l'ensemble-solution d'une inéquation du premier degré à une variable de diverses façons:

 

Expression d'un ensemble-solution

Les vidéos
 

 

Les exercices
Les références