Mathématique m1088

La méthode de substitution

La méthode de substitution est une méthode qui permet de résoudre algébriquement un système d'équations où une équation est sous la forme |y = ax + b| et l'autre |ax + by = c|.

On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système par substitution lorsqu’une variable est isolée dans une seule des deux équations. Autrement dit, lorsque le système a la forme suivante:

|\begin{cases}y=a_1x+b_1 \\ a_2x+b_2y=c \end{cases}|

La méthode de substitution consiste à remplacer la variable isolée par son expression algébrique correspondante dans l’équation où cette variable n’est pas isolée. Visuellement, ceci peut être représenté de la façon suivante:

 

Évidemment, il est possible d'utiliser cette méthode même si aucune variable n'est isolée dans le système. Il faudra alors procéder à quelques manipulations algébriques afin d'isoler une variable dans une des équations avant de procéder à la méthode de substitution.

Il n'est pas nécessaire que ce soit absolument la variable dépendante (généralement nommée |y|) qui soit isolée dans une équation et substituée dans l'autre. La méthode de substitution peut être effectuée avec n'importe quelle variable, peu importe qu'elle soit dépendante ou indépendante. Il faut simplement que ce soit la même variable qui soit isolée dans une équation et substituée dans l'autre

 

Pour procéder à une résolution algébrique d'un système d'équations par la méthode de substitution, il faut suivre les étapes suivantes:

1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.

2. Isoler une variable dans l'une des deux équations, si nécessaire.

3. Substituer cette même variable dans la seconde équation par l'expression algébrique qui correspond à la variable isolée pour former une équation à une variable.

4. Résoudre cette équation.

5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.

6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations de départ.

 

Soit le système d’équations suivant :
||\begin{cases}y = -8x - 6 \\ 4x+3y=42 \end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Isoler une variable dans l'une des deux équations, si nécessaire.
Cette étape est déjà complétée étant donné que la variable |y| est isolée dans la première équation.

3. Substituer cette même variable dans la seconde équation par l'expression algébrique qui correspond à la variable isolée pour former une équation à une variable.
||y = \color{red}{-8x - 6}\ \ \text{et}\ \ 4x+3\color{red}{y} = 42\\
\Rightarrow 4x+3(\color{red}{-8x - 6}) = 42||
4. Résoudre cette équation.
||\begin{align}4x+3(-8x-6)&=42 \\
4x-24x-18&=42 \\
-20x-18\color{red}{+18}&=42\color{red}{+18} \\
-20x&=60\\
-20x\color{red}{\div -20}&=60\color{red}{\div -20}\\
x&=-3\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.
Ici, il est plus simple d'utiliser la première équation étant donné que la variable |y| est déjà isolée.
||\begin{align}y& = -8x - 6\\
y &= -8(\color{red}{-3}) - 6\\
y &= 24 - 6\\
y &= 18\end{align}||
6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations de départ.
||\begin{align} y&=-8x-6 & 4x+3y&=42\\
(18)&=-8(-3)-6 & 4(-3)+3(18)&=42\\
18&=24-6 & -12+54&=42\\
18&=18 & 42&=42\end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que le couple solution du système est |(-3,18)|.

 

Soit le système d’équations suivant :
||\begin{cases}2a + 3b = 5\\ \displaystyle b = \frac{a + 5}{3}\end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Isoler une variable dans l'une des deux équations, si nécessaire.
Cette étape est déjà complétée étant donné que la variable |y| est isolée dans la première équation.

3. Substituer cette même variable dans la seconde équation par l'expression algébrique qui correspond à la variable isolée pour former une équation à une variable.
||\displaystyle b = \color{red}{\frac{a + 5}{3}}\ \ \text{et}\ \ 2a + 3\color{red}{b} = 5\\
\displaystyle \Rightarrow 2a + 3(\color{red}{\frac{a + 5}{3}}) = 5||
4. Résoudre cette équation.
||\begin{align}2a + 3(\small{\frac{a}{3}} + \frac{5}{3}) &= 5\\
\\
2a + \small{\frac{3a}{3}} + \frac{15}{3} &= 5\\
\\
2a + a + 5 &= 5\\
\\
3a + 5 &= 5\\
\\
3a &= 0\\
\\
a &= 0\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des équations de départ pour trouver la valeur de la deuxième variable.
||\displaystyle \begin{align}b &= \frac{a + 5}{3}\\
b &= \frac{\color{red}{0} + 5}{3}\\
b& = \frac{5}{3}\end{align}||
6. Valider le résultat en substituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations de départ.
||\begin{align} 2a+3b&=5 & b&=\small{\frac{a + 5}{3}}\\
2(0)+3\left(\small{\frac{5}{3}}\right)&=5 & \left(\small{\frac{5}{3}}\right)&=\small{\frac{(0)+5}{3}}\\
0+5&=5 & \small{\frac{5}{3}}&=\small{\frac{5}{3}}\\
5&=5 & \phantom{\small{\frac{5}{3}}}&\phantom{=\frac{5}{3}}\end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que le couple solution du système est |(0, \frac{5}{3})|.

Soit le système d’équations suivant :
||\begin{cases}10x + 40y = 30 \\ -2 = -x - 4y \end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Isoler une variable dans l'une des deux équations, si nécessaire.
||\begin{align}-2&=-x-4y\\
-2\color{red}{+x}&=-x\color{red}{+x}-4y\\
-2\color{red}{+2}+x&=-4y\color{red}{+2}\\
x&=2-4y\end{align}||
3. Substituer cette même variable dans la seconde équation par l'expression algébrique qui correspond à la variable isolée pour former une équation à une variable.
||x = \color{red}{2 - 4y}\ \ \text{et}\ \ 10\color{red}{x} + 40y = 30\\
\Rightarrow 10(\color{red}{2 - 4y}) + 40y = 30||
4. Résoudre cette équation.
||\begin{align} 10(2-4y)+40y&=30\\
20 - 40y + 40y &= 30\\
20\color{red}{-20} - 40y + 40y &= 30 \color{red}{-20}\\
-40y + 40y &= 10\\
0 &= 10\end{align}||
Ce résultat est impossible. Il n'y a donc aucune solution pour ce système d'équation. Pour le vérifier, on peut transformer les deux équations sous forme |y = ax + b|. On remarque alors que les deux équations possèdent le même taux de variation, mais des ordonnées à l'origine différentes; les deux équations représentent donc des droites parallèles disjointes.
||\begin{align}10x + 40y = 30 &\Rightarrow y = \frac{-1}{4}x + \frac{3}{4}\\
\\
x = 2 - 4y &\Rightarrow y = \frac{-1}{4}x - \frac{1}{2}\end{align}||

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Les exercices
Les références