Mathématique m1090

La résolution de systèmes d'équations linéaires

​Un système d'équations est un ensemble d'au moins deux équations que l'on peut résoudre à l'aide de diverses stratégies.

La résolution d'un système d'équations linéaires consiste à déterminer les coordonnées du ou des points de rencontre entre les droites décrites par les équations.

La résolution d'un système d'équations à deux variables consiste à trouver le point de rencontre entre les équations. Lorsqu'il existe, ce point de rencontre est un couple |(x,y)|. Cela est possible lorsque les deux droites sont sécantes. Si les droites sont parallèles entre elles, on aura plutôt une infinité de solution si elles sont confondues, ou l'absence de solution si elles sont disjointes.

On peut résoudre un système d'équations linéaires de plusieurs façons. On peut utiliser le graphique pour déterminer le point de rencontre, ou encore la table de valeurs. Il est aussi possible de résoudre algébriquement le système d'équations à l'aide de différentes méthodes (comparaison, substitution, réduction).

Le nombre de solutions possibles pour un système d'équations linéaires

Lors de la résolution de système d'équations linéaires, il faut trouver un couple |(x, y)| qui permet de vérifier toutes les équations du système. Ainsi, le couple trouvé correspond aux coordonnées du point de rencontre des deux droites.

Trois situations sont possibles:

  1. Le système d'équations peut avoir une solution unique. Dans ce cas, les droites se rencontrent graphiquement en un seul point. Ainsi, les pentes des équations sont différentes ce qui caractérise des droites sécantes.
  2. Le système d'équations peut n'avoir aucune solution. Dans ce cas, les droites ne se rencontrent jamais. Ainsi, les pentes des équations sont les mêmes mais leurs ordonnées à l'origine sont différentes ce qui caractérise des droites parallèles disjointes.
  3. Le système d'équations peut avoir une infinité de solutions. Dans ce cas, les droites se rencontrent en tout point. Ainsi, les pentes et les ordonnées à l'origines des droites sont les mêmes ce qui caractérise des droites confondues.

On peut donc déterminer le nombre de solutions possibles d'un système d'équations à l'aide des équations des droites autant qu'à l'aide du graphique.

Soit le système d'équations suivant: ||\begin{cases}y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2\end{cases}||

Les cas possibles sont résumés dans le tableau ci-dessous.

Une solution unique Aucune solution Une infinité de solution
Droites sécantesDroites parallèles disjointesDroites confondues
|a_1\neq a_2|
(pentes différentes)
|a_1 = a_2| et |b_1\neq b_2|
(même pente mais ordonnées à l'origine différentes)
|a_1 = a_2| et |b_1 = b_2|
(même pente et même ordonnée à l'origine)
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