Mathématique m1093

La représentation des inéquations dans un plan cartésien

Il est possible de représenter une inéquation dans un plan cartésien. Pour ce faire, certaines règles doivent être suivies:

Règles pour tracer une inéquation:

1. Tracer la fonction dans le plan cartésien, comme si l’on avait une égalité.

2. Indiquer le type d'inégalité.

|\bullet| Si le signe de l'inéquation est |\leq| ou |\geq|, on tracera une droite avec une ligne pleine. Cela indique que les points sur la droite font partie de la solution.

|\bullet| Si le signe de l'inéquation est |<| ou |>|, on tracera une ligne pointillée. Les points sur la droite ne font pas partie de la solution.

3. Déterminer la région-solution.

Puisqu’il existe une infinité de points dans le plan cartésien qui peuvent répondre à cette contrainte et qu’il est impossible de tous les définir précisément, on hachurera la portion du plan cartésien qui illustre toutes ces possibilités.

4. Valider la région-solution.

On valide la région-solution en remplaçant les variables de l'inéquation par les coordonnées d'un point se trouvant dans la région-solution. On appelle ce point un point test ou encore un point d'essai.

Lorsqu'on représente une inéquation dans un graphique, l'ensemble-solution sera délimité par une droite frontière.

Une droite frontière est une droite qui délimite l'ensemble-solution d'une inéquation.

Il existe deux types de droite frontière:

  1. Si la droite frontière fait partie de l'ensemble-solution |(\le ou \ge)|, on la représente par un trait plein.
  2. Si la droite frontière ne fait pas partie de l'ensemble-solution |(< ou >)|, on la représente par un trait pointillé.

m1093i1.png 
La droite frontière de gauche est incluse dans l'ensemble-solution alors que celle de gauche en est exclue.

 

Une inéquation du premier degré à une variable dans un plan cartésien

On doit se souvenir qu’une droite peut être horizontale (y = constante) ou encore verticale (x=constante).

Lorsque |y| est égal à une constante, la représentation de la fonction est sous forme d'une droite horizontale. Si l'inégalité contient une égalité (à gauche), la droite frontière fait partie de la région-solution et on la représente par une ligne pleine. Au contraire, si l'inégalité ne contient pas d'égalité (à gauche), la droite frontière ne fait pas partie de la région-solution et on la trace en pointillés.

m1093i2.png
 
Lorsque |x| est égal à une constante, la représentation de la fonction est sous forme d'une droite verticale. Si l'inégalité contient une égalité (à gauche), la droite frontière fait partie de la région-solution et on la représente par une ligne pleine. Au contraire, si l'inégalité ne contient pas d'égalité (à gauche), la droite frontière ne fait pas partie de la région-solution et on la trace en pointillés.

m1093i3.png

Une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien

Il est possible, en suivant les étapes énumérées auparavant, de représenter une inéquation linéaire à deux variables dans un plan cartésien.

Soit la fonction |y > 3x+6|

1. On représente tout d’abord la droite frontière dans le plan cartésien, comme si l’on avait une égalité (|y = 3x + 6|).
m1093i4.png
2.Comme le signe est |>|, on trace la droite frontière en trait pointillé.
(Truc: On peut simplement effacer des bouts de la ligne à l'étape précédente.)
m1093i4a.png
3. On détermine la région-solution.

Pour ce faire, on peut prendre un point dans la plan cartésien et vérifier s'il valide l'inéquation. Prenons le point |\left(0,0\right)|.

On remplace |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du point et on résout l'inéquation:
||\begin{align}0&> 3\cdot {0+6}\\
0 &> 0+6\\
0 &\color{red}{>} 6\end{align}|| |0| n'est pas plus grand que |6| donc le point |\left(0,0\right)| ne fait pas partie de la solution. On hachure donc de l'autre côté de la droite frontière (à sa gauche).
m1093i4b.png

 

Après avoir tracé la droite frontière et déterminé le type d'inégalité, il est possible de déterminer la région-solution en utilisant un point aléatoire du plan cartésien. Il suffit alors de remplacer les variables de l'inéquation par les coordonnées de ce point et de vérifier si elles valident ou non l'inéquation. Ainsi:

|\bullet| Si le point test valide l'inéquation, il fait partie de la région à hachurer, c'est-à-dire de la région-solution.

|\bullet| Si le point test ne valide pas l'inéquation, il ne fait pas partie de la région à hachurer, c'est-à-dire de la région-solution. Il faut alors hachurer la région opposée.

Trouver une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien

1. On trouve l'équation de la droite frontière sous la forme |y=ax+b|.

2. On détermine le signe d'inégalité approprié (en utilisant la méthode du point d'essai).

|\bullet| Si le trait est pointillé on a deux choix: |>| ou |<|.

|\bullet| Si le trait est plein on a deux choix: |\geq| ou |\leq|.

 
Soit le graphique suivant:
m1093i5.png
La droite frontière passe par les points |\left(-1,3\right)| et |\left(0,-1\right)|.

1. Pour trouver l'équation de la droite frontière, on doit calculer le |a|.
||\begin{align}a &= \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\\ \\
& = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ \\
&=\frac{-1-3}{0- -1}\\ \\
&=-4\end{align}|| On a donc |y=-4x+b|.

Il faut maintenant calculer |b| en remplaçant |x| et |y| par les valeurs d'un point.
||\begin{align}3&= -4 \cdot -1 + b\\
3 &= 4 + b\\
-1&=b\end{align}|| L'équation de la droite frontière est |y=-4x-1|.

2. Il ne reste qu'à déterminer le signe d'inégalité.

Comme le trait est pointillé, on a deux choix: |>| ou |<|.

On choisit |<| et on vérifie si c'est le bon signe en prenant un point d'essai appartenant à la zone hachurée. Prenons le point |(-1,0)|.
||\begin{align}0 &< -4 \cdot -1 - 1\\
0 &< 4 - 1\\
0&<3\end{align}|| Ceci est vrai, donc le signe d'inégalité est adéquat.

Par conséquent, le graphique plus haut correspond bien à l'inéquation |y<-4x-1|.

Deux inéquations du premier degré à deux variables dans un plan cartésien

Lorsque l'on représente deux inéquations dans un plan cartésien, on se retrouve avec une zone où les zones hachurées de chaque inéquation se rencontrent. Cette zone de rencontre représente la région-solution.

Soit les deux inéquations suivantes:
||\begin{align}y&>2x+2 & y&<-2x+3\end{align}||
1. On trace les deux inéquations comme si elles étaient des équations.
m1093i6.png

2. Puisque les signes sont |>| et |<|, les droites frontières seront pointillées.

3. On détermine les zones à hachurer. Prenons le point (0,0) pour les deux inéquations.
m1093i6a.png
||\begin{align}0&>2\cdot 0-2 & &\phantom{00000} & 0&<-2\cdot 0 +3\\
0&>-2 & &\phantom{0} & 0&<3\\
\text{Vr}&\text{ai} & \text{Vr}&\text{ai}\end{align}|| Dans les deux cas, la situation est vraie et donc on hachure vers le point |(0,0)| pour les deux inéquations. 
m1093i6b.png
La région où les zones hachurées se rencontrent correspond à la région-solution. C'est ce que l'on appelle l'intersection des deux inéquations.

Une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien

Il est possible, en suivant les étapes énumérées auparavant, de représenter une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien.

Soit l'inéquation |y \le 0,2x^2 - 0,4x - 7|

Dans ce cas, l'inéquation contient une égalité. Il faut donc représenter la fonction à l'aide d'une ligne pleine.
m1093i7.png

Ensuite, il suffit d'utiliser un point test pour valider quelle zone doit être sélectionnée comme région-solution. Par exemple, si on utilise le point |(0,0)|:
||\begin{align}0 &\le 0,2(0)^2 - 0,4(0) - 7\\
0 &\le -7\end{align}||
Cette réponse est fausse puisque |0| est plus grand que |-7|, il faut donc sélectionner la zone où le point |(0,0)| ne se retrouve pas.
m1093i7a.png

Les vidéos
Les exercices
Les références