Mathématique m1097

La règle d'une suite

La règle d'une suite est une relation d'égalité mathématique qui permet de trouver la valeur de tous les termes d'une suite.
Pour décrire certaines suites, on peut établir la règle de la suite. Il s'agit d'une équation algébrique qui permet de trouver rapidement la valeur d'un terme dans une suite à l'aide de son rang.

La règle d'une suite arithmétique

La règle d'une suite arithmétique peut s'écrire sous la forme suivante:

|\text{Terme = régularité} \times \text{rang du terme + rang zéro}|

Dans cette formule, on peut changer changer le mot régularité par raison.

|\text{Terme = raison} \times \text{rang du terme + rang zéro}|

On peut aussi écrire cette formule en utilisant une forme abrégée.


Pour trouver la règle d'une suite arithmétique, il faut utiliser la démarche suivante:

1. Déterminer la régularité en calculant la différence entre deux termes consécutifs.
2. Déterminer la valeur du terme lorsque le rang est égal à 0 (rang 0).
3. Écrire la règle de la suite.

Prenons la table de valeurs suivante :


1. Déterminer la régularité.

La distance entre deux termes consécutifs représente la régularité de la règle.
7 – 5 = 2
9 – 7 = 2
11 – 9 = 2
La régularité est donc de +2. On peut donc écrire :

|t = 2\times n + \text{rang } \,0|

2. Déterminer la valeur du rang 0.

Méthode 1:
On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplacant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs.

Prenons le couple (3,9). On remplace t par 9 et n par 3.
|9= 2\times 3 + \text{rang }\,0|
|9= 6 + \text{rang }\,0|

On doit remplacer le rang 0 par 3 pour respescter l'égalité.
|9=6+3|

Méthode 2:
On peut déterminer la valeur du terme qui serait situé au rang 0. Pour ce faire, il faut soustraire la régularité au terme situé au rang 1.
|5 - (+2) = 3|
Le rang 0 est donc 3.

3. Écrire la règle.

La règle est donc la suivante:
|t=2n+3|

Prenons la table de valeurs suivante :



1. Déterminer la régularité.

La distance entre deux termes consécutifs représente la régularité de la règle.
-14 – (-12) = -2
-16 – (-14) = -2
-18 – (-16) = -2
La régularité est donc de -2. On peut donc écrire :

|t = -2\times n + \text{rang }\,0|

2. Déterminer la valeur du rang 0.

On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplacant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs.

Prenons le couple (1,-12). On remplace t par -12 et n par 1.
|-12= -2\times 1 + \text{rang }\,0|
|-12= -2 + \text{rang }\,0|

On doit remplacer le rang 0 par -10 pour respescter l'égalité.
|-12=-2+ -10|

3. Écrire la règle.

La règle est donc la suivante:
|t=-2n-10|

La règle d'une suite géométrique

La règle d'une suite géométrique peut s'écrire sous la forme suivante:

|\text{terme} = 1^e\,\text{terme}\times \text{régularité}^{(\text{rang du terme} - 1)}|

Cette règle peut être simplifiée par l'emploi de variables:

|t = 1^{er}\,\text{terme}\times \text{régularité}^{(n - 1)}|

Pour trouver la règle d'une suite géométrique, il faut utiliser la démarche suivante:

1. Déterminer la régularité entre deux termes consécutifs.
2. Déterminer le premier terme de la suite.
3. Écrire la règle de la suite.

 

Prenons la table de valeurs suivante:



1. Déterminer la régularité.


D'un terme à l'autre, on multiplie par un facteur de 2. La régularité est donc 2.

2. Déterminer le premier terme.

Le premier terme de la suite est 3.

3. Écrire la règle.

La règle est donc la suivante:
|t = 3\times 2^{(n - 1)}|

Méthode pour trouver la valeur d'un terme

Si on veut trouver le terme qui occupe le 12e rang avec la règle suivante:

|t = 4n + 7|
|t = 4(12) + 7|
|t = 48 + 7|
|t = 55|

Le 12e terme de la suite est 55.

 

Si on veut trouver à quel rang se situe le terme 167 avec la règle suivante:

|t = 4n + 7|
|167 = 4n + 7|
|167 - 7 = 4n + 7 - 7|
|160 = 4n|
|\displaystyle \frac{160}{4} = \displaystyle \frac{4n}{4}|
|40 = n|

Le terme 167 est situé au 40e rang.

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Les exercices
Les références