Mathématique m1104

Les propriétés de la fonction exponentielle

Propriétés

Fonction exponentielle
de base

|f(x)=c^x|

avec |c>0| et |c\neq 1|

Asymptote en |y=0|

Fonction exponentielle sous
la forme canonique

|f(x)= ac^{b(x-h)}+k|

avec |c>0, c\neq 1|, |a| et |b| différents de 0

Asymptote en |y=k|

Domaine |\mathbb{R}| ou selon le contexte. |\mathbb{R}| ou selon le contexte.
Image

-Si c>1, les images sont définies dans l'intervalle ]0,+∞[.

-Si 0<c<1, les images sont définies dans l'intervalle ]-∞,0[.

-Si a>0, les images sont définies dans l'intervalle ]k,+∞[.

-Si a<0, les images sont définies dans l'intervalle ]-∞,k[.
Zéro de la fonction | \forall|x,  f(x)|\neq|0 Existe si a>0 et k<0 ou a<0 et k>0.
S'il existe un zéro, c'est la valeur de x
lorsque f(x)=0.

Signe de la fonction Avec c>0 et c|\neq|1 , la fonction est positive sur tout son domaine. Selon l'équation de la fonction et l'existence du zéro.
Ordonnée à l'origine Si x=0 alors f(x)=1. C'est la valeur de f(x) lorsque x=0.
Extremums Aucun ou selon le contexte. Aucun ou selon le contexte.
Croissance

 

-Si c>1, la fonction est croissante sur son domaine.

 

-Si c>1 et que a et b sont
de même signe.

-Si 0<c<1 et que a et b sont de
signes contraires.
Décroissance -Si 0<c<1, la fonction est décroissante sur son domaine. -Si 0<c<1 et que a et b sont
de même signe.

- Si c>1 et que a et b sont
de signes contraires.

Déterminez les différentes propriétés de la fonction |f(x)=-2 \cdot 3^{x+1}+3|.

-Il est très utile de tracer un graphique afin de s'aider.

-L'asymptote de cette fonction est |y=3|.

-Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels que l'on note |\mathbb{R}|. L'image de la fonction est l'intervalle |]-\infty, 3[|.

-Le zéro de la fonction se calcule en remplaçant f(x) par 0 et en isolant x.
|0 = -2 \cdot 3^{x+1}+3|
|-3 = -2 \cdot 3^{x+1}|
|1,5 = 3^{x+1}|
Rendu ici, on passe à la forme logarithmique.
|\log_3 1,5 = x+1|
|\log_3 1,5 - 1 = x|
Donc, le zéro vaut environ -0,63.

-Le signe de la fonction est positif lorsque |x| appartient à l'intervalle |]-\infty;-0,63]| et il est négatif lorsque |x| appartient à l'intervalle |[-0,63; +\infty[|.

-Pour calculer l'ordonnée à l'origine, on remplace |x| par 0.
|f(0) = -2 \cdot 3^{0+1} + 3|
|f(0) = -3|
L'ordonnée à l'origine de la fonction est -3.

-La fonction n'a aucun extremum.

-La fonction est décroissante. En effet, |c>1| puis |a| et |b| sont de signes contraires.

 

Les propriétés des fonctions

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