Mathématique m1104

Les propriétés de la fonction exponentielle

Dans l'animation suivante, tu peux modifier les paramètres |a|, |b|, |c|, |h| et |k| de la fonction exponentielle et observer l'effet sur les propriétés de la fonction. Après cette exploration, tu pourras poursuivre la lecture de la fiche pour connaitre toutes les précisions concernant les propriétés de la fonction.

Fonction exponentielle de base Fonction exponentielle en forme canonique
Propriétés |f(x)=c^x|

avec |c>0| et |c\neq 1|

Asymptote en |y=0|
|f(x)= ac^{b(x-h)}+k|

avec |c>0, c\neq 1|, |a| et |b| différents de 0

Asymptote en |y=k|
Domaine|\mathbb{R}| ou selon le contexte.|\mathbb{R}| ou selon le contexte.
Image

Les images sont définies dans l'intervalle |]0,+\infty[|.

- Si |a>0| et |b>0|, les images sont définies dans l'intervalle |]k,+\infty[|.

- Si |a<0| et |b>0|, les images sont définies dans l'intervalle |]-\infty,k[|.
Zéro de la fonction| \forall|x,  f(x)|\neq|0Existe si |a>0| et |k<0| ou |a<0| et |k>0|.
S'il existe un zéro, c'est la valeur de |x|
lorsque |f(x)=0|.

Signe de la fonctionAvec |c>0| et |c\neq1|, la fonction est positive sur tout son domaine.Selon l'équation de la fonction et l'existence du zéro.
Ordonnée à l'origineSi |x=0| alors |f(x)=1|.C'est la valeur de |f(x)| lorsque |x=0|.
ExtrémumsAucun ou selon le contexte.Aucun ou selon le contexte.
Croissance

 

Si |c>1|, la fonction est croissante sur son domaine.

 

- Si |c>1| et que |a| et |b| sont
de même signe.

- Si |0<c<1| et que |a| et |b| sont de
signes contraires.
Décroissance
- Si |0<c<1|, la fonction est décroissante sur son domaine.- Si |0<c<1| et que |a| et |b| sont
de même signe.

- Si |c>1| et que |a| et |b| sont
de signes contraires.

Déterminez les différentes propriétés de la fonction |f(x)=-2 \cdot 3^{x+1}+3|.

- Il est très utile de tracer un graphique afin de s'aider.

- L'asymptote de cette fonction est |y=3|.

- Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels qu'on note |\mathbb{R}|. L'image de la fonction est l'intervalle |]-\infty, 3[|.

- Le zéro de la fonction se calcule en remplaçant f(x) par 0 et en isolant x.
|0 = -2 \cdot 3^{x+1}+3|
|-3 = -2 \cdot 3^{x+1}|
|1,5 = 3^{x+1}|
Rendu ici, on passe à la forme logarithmique.
|\log_3 1,5 = x+1|
|\log_3 1,5 - 1 = x|
Donc, le zéro vaut environ -0,63.

- Le signe de la fonction est positif lorsque |x| appartient à l'intervalle |]-\infty;-0,63]| et il est négatif lorsque |x| appartient à l'intervalle |[-0,63; +\infty[|.

- Pour calculer l'ordonnée à l'origine, on remplace |x| par 0.
|f(0) = -2 \cdot 3^{0+1} + 3|
|f(0) = -3|
L'ordonnée à l'origine de la fonction est -3.

- La fonction n'a aucun extrémum.

-La fonction est décroissante. En effet, |c>1| puis |a| et |b| sont de signes contraires.

Les propriétés des fonctions

Les vidéos
Les exercices
Les références