Mathématique m1107

Les propriétés des fonctions

​​​​​​Il existe une multitude de propriétés relatives aux diverses fonctions que l'on rencontre.

Le domaine et l'image d’une fonction

Le domaine d'une fonction |f| correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre sa variable indépendante, généralement |x|.

|\bullet| Le domaine d'une fonction peut être donné de différentes façons: ensembles de nombres, intervalles, accolades.

Quel est le domaine de la fonction |f(x) = 12x – 1|? Cette fonction a pour graphique:


Le domaine de cette fonction est formé de tous les nombres réels, car les valeurs que la variable |x| peut prendre sont comprises entre moins l’infini et plus l’infini.

En langage mathématique, on peut écrire le domaine des deux façons suivantes:

|\text{dom }f=\{x\in \mathbb{R}\}| ou |\text{dom } f = \mathbb{R}|

|\text{dom }f=]-\infty,+\infty[|

 

Au lieu d'écrire l'intervalle |]- \infty, + \infty[|, on écrit tout simplement |\mathbb{R}|.

 

L'image d'une fonction |f|, aussi appelée le codomaine, correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable dépendante, généralement |y|. 

|\bullet| L'image d'une fonction peut être exprimée de différentes façons: ensembles de nombres, intervalles, accolades.

Quelle est l'image de la fonction |f(x) = 12x – 1|? Cette fonction a pour graphique:


L'image de cette fonction est formée de tous les nombres réels, car les valeurs que la variable |y| peut prendre sont comprises entre moins l’infini et plus l’infini.

En langage mathématique, on peut écrire l'image des deux façons suivantes:

|\text{ima }f=\{y\in \mathbb{R}\}| ou |\text{ima } f = \mathbb{R}|

|\text{ima }f=]-\infty,+\infty[|

La croissance et la décroissance d’une fonction

La variation d'une fonction est exprimée en termes de croissance, de décroissance et de constance. On parle de croissance lorsque, sur un intervalle donné du domaine d'une fonction, l'image de ce​lle-ci ne diminue pas​. La croissance correspond donc à un intervalle en |x| sur lequel les valeurs de |y| ne diminuent pas: les valeurs de |y| augmentent ou restent constantes​.

On parle de décroissance lorsque, sur un intervalle donné du domaine d'une fonction, l'image de celle-ci n'augmente pas​. La décroissance correspond donc à un intervalle en |x| sur lequel les valeurs de |y| n'augmentent pas: elles diminuent ou restent constantes.

On dit qu’une fonction est constante (de variation nulle) si, pour un intervalle donné du domaine, les valeurs de l'image demeurent inchangées.

 

Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle si les valeurs de |y| ne font qu'augmenter.

Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle si les valeurs de |y| ne font que diminuer.

 

On lit la variation d'une fonction sur un graphique de la gauche vers la droite.

 

Soit le graphique suivant:



La fonction est croissante sur l'intervalle |[0,4]|. Elle est strictement croissante sur l'intervalle |[0,2]|.

La fonction est décroissante sur l'intervalle |[2,8]|. Elle est strictement décroissante sur l'intervalle |[4,8]|.

La fonction est constante sur l'intervalle |[2,4]|.

 

On inclut à la fois l'intervalle |[2,4]| dans la croissance et la décroissance. En effet, sur cet intervalle, la fonction a une variation qui est nulle. On élimine cet intervalle de la croissance et de la décroissance lorsqu'on parle de croissance stricte et de décroissance stricte.

 

Le maximum et le minimum d’une fonction​​

Les extremums d'une fonction regroupent le maximum et le minimum d'une fonction.

Le maximum d’une fonction correspond à la valeur maximale de son image, c'est-à-dire sa valeur maximale en |y|.

Le minimum d’une fonction correspond à la valeur minimale de son image, c'est-à-dire sa valeur minimale en |y|.


          Dans le graphique suivant                             Dans le graphique suivant
             le minimum est de 3.                                     le maximum est de 6.

 

Il se peut qu'une fonction ne possède aucun extremum. Une fonction peut également posséder qu'un seul extremum ou en posséder deux.

​Le signe d’une fonction

Afin de déterminer le signe d'une fonction, on regarde les valeurs des ordonnées de cette fonction.

|\bullet| On dira qu’une fonction |f(x)| est positive sur un intervalle donné en |x| si, sur cet intervalle, les valeurs de |f(x)| sont supérieures ou égales à 0 (positives).

|\bullet| On dira qu’une fonction |f(x)| est négative sur un intervalle donné en |x| si, sur cet intervalle, les valeurs de |f(x)| sont inférieures ou égales à 0 (négatives).

 
Soit le graphique suivant:



La fonction est positive sur l'intervalle |[-3, + \infty[|.

La fonction est négative sur l'intervalle |]-\infty,0]|.

​Les coordonnées à l’origine d’une fonction

L’abscisse à l’origine d'une fonction est la coordonnée en |x| du point qui se trouve directement sur l’axe des |x|. Bref, c'est la valeur de |x| lorsque |y=0|. Les coordonnées de l'abscisse à l'origine d'une fonction sont donc |(x,0)|. On parle aussi du zéro de la fonction.

L’ordonnée à l’origine d'une fonction est la coordonnée en |y| du point qui se trouve directement sur l’axe des |y|. Bref, c'est la valeur de |y| lorsque |x=0|. Les coordonnées de l'ordonnée à l'origine d'une fonction sont donc |(0,y)|. On parle aussi de la valeur initiale de la fonction.

 
Soit le graphique suivant:


L'abscisse à l'origine de la fonction est |-3|.

L'ordonnée à l'origine de la fonction est |3|.

 

Une fonction ne peut posséder qu'une seule ordonnée à l'origine. Il peut parfois ne pas y en avoir, mais il ne peut jamais y en avoir plusieurs.

Une fonction peut posséder aucune, une seule ou plusieurs abscisses à l'origine.

​​L​es asymptotes d'une fonction

​Une asymptote , souvent représentée graphiquement par une ligne pointillée, est une droite vers laquelle s'approche de plus en plus une fonction, sans jamais y toucher. Il peut y avoir plusieurs asymptotes pour une même fonction. 
Voici un exemple où la fonction possède deux asymptotes : 
​​​​​​m1107i6.PNG

Cette fonction ne possède qu'un asymptote : ​
m1107i7.PNG

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Les exercices
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