Mathématique m1110

La réciproque d'une fonction

La réciproque d'une fonction |f| s'obtient en intervertissant les valeurs de |x| et de |y| puis en isolant |y|. Elle se note |f^{-1}|.

On obtient le graphique d'une réciproque en faisant faire une réflexion par à l'axe |y=x| à la fonction.

Remarque : Il arrive souvent que l'on n'écrive pas le |f^{-1}| et que l'on écrive plutôt |y=|.

 

Soit une fonction |f| passant par les couples: |(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4)|.
Alors la réciproque |f^{-1}| passera par les couples: |(-4,-2),(-2,-1),(0,0),(2,1),(4,2)|.

 

La réciproque d'une fonction n'est pas toujours une fonction.

La réciproque de |f|, notée |f^{-1}|, est une fonction si et seulement si aucune droite horizontale (parallèle à l'axe des |y|) ne coupe le graphique de la fonction |f| en plus d'un point.


La réciproque de cette fonction, n'est pas une fonction.

 

Comme |f^{-1}| est composée des couples obtenus en intervertissant dans |f| les variables |x| et |y|, on a donc que |\text{ dom } f^{-1} = \text{ima } f| et |\text{ima } f^{-1} = \text{dom } f|. Ainsi, le domaine de |f| devient l'image de |f^{-1}| et vice-versa.

 

Soit la fonction |f(x)=\frac{x}{2}+3| que l'on peut écrire |y=\frac{x}{2}+3|.

La réciproque se trouve en intervertissant |x| et |y|.

|y=\frac{x}{2} + 3 \rightarrow x = \frac{y}{2} + 3|

On isole |y|.
|x-3 = \frac{y}{2} \rightarrow  2(x-3) = y \rightarrow 2x-6 = y|

Ainsi, la réciproque a pour équation |f^{-1}(x) = 2x-6|.

Voici un graphique représentant la fonction, sa réciproque et l'axe de réflexion.

 

 

Les différentes réciproques des différentes fonctions:

|\bullet| La réciproque de la fonction affine
|\bullet| La réciproque de la fonction quadratique
|\bullet| La réciproque de la fonction racine carrée
|\bullet| La réciproque de la fonction exponentielle
|\bullet| La réciproque de la fonction valeur absolue
|\bullet| La réciproque de la fonction en escalier
|\bullet| La réciproque de la fonction logarithmique
|\bullet| La réciproque de la fonction sinus
|\bullet| La réciproque de la fonction cosinus
|\bullet| La réciproque de la fonction tangente

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