Mathématique m1114

La différence de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres. On peut donc effectuer la différence de fonctions.

Étant donné deux fonctions réelles |f| et |g|, on définit la différence de celles-ci comme suit: ||(f-g)(x)=f(x)-g(x)||où |h(x)= f(x)-g(x)|.

|\bullet| Le domaine de la fonction différence correspond à l'intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère. S'il y a un dénominateur, il faut exclure les restrictions sur ce dernier.

La représentation algébrique de la différence de fonctions

Exemple 1

Soit la fonction |c| définie par |c(x)=x^{2}-1| et la fonction |d| définie par |d(x)=2x+3|. La différence de ces fonctions donnera le résultat suivant:

|(c-d)(x)= c(x)-d(x)|

           |=(x^{2}-1)-(2x+3)|

           |=x^{2}-1-2x-3|

           |=x^{2}-2x-4|
 
Le domaine de la fonction |c| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |d| correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |c-d| correspondra à l'intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

Soit la fonction |p| définie par |p(x)=4\sin\,\frac{\pi}{10}(x)| et la fonction |q| définie par |q(x)=\frac{x}{5}|. La différence de ces fonctions donnera le résultat suivant:

|(p-q)(x)= p(x)-q(x)|

           |=4\sin\,\frac{\pi}{10}(x)-\frac{x}{5}|
 
Le domaine de la fonction |p| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |q| correspond à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |p-q|  correspondra à lintersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 3

Soit la fonction |f| définie par |f(x)=\frac{x-3}{x-4}| et la fonction |g| définie par |g(x)=\frac{x+2}{x^2-16}|. La différence de ces fonctions donnera le résultat suivant:

Le domaine de la fonction |f| est |\mathbb{R} \backslash \lbrace 4 \rbrace| et le domaine de la fonction |g| est |\mathbb{R} \backslash \lbrace -4,4 \rbrace|. Le domaine de la fonction résultante est |\mathbb{R} \backslash \lbrace 4 \rbrace \cap \mathbb{R} \backslash \lbrace -4,4 \rbrace = \mathbb{R} \backslash \lbrace -4, 4 \rbrace|.

La représentation graphique de la différence de fonctions

Pour trouver la différence entre deux fonctions dans un graphique, on soustrait l’image de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou on peut utiliser les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

|\bullet| Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions  |c(x)=x^{2}-1|, |d(x)=2x+3| et de la différence de |c-d|, on obtient:

|x| |c(x)| |d(x)| |(c-d)(x)|
0 -1 3 -4
1 0 5 -5
2 3 7 -4
3 8 9 -1
4 15 11 4

|\bullet| Puisque la résultante est une fonction quadratique, on peut utiliser les formules associées pour trouver le sommet et les zéros.

Sommet:

|(c-d)(x)=x^{2}-2x-4|

|h=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=1|

|(c-d)(x)=1^{2}-2\cdot1-4=-5|

Donc (h,k)= (1,-5)
 
Zéros:

|\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot-4}}{2\cdot1}|
 
On trouve (-1,24 ; 0) et (3,24 ; 0)

On obtient le graphique suivant:

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