Mathématique m1116

Le quotient de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres.

Étant donné deux fonctions réelles |f| et |g|, on définit le quotient de celles-ci comme suit :||\left(\frac{f}{g}\right)(x)= f(x) \div  g(x).||

|\bullet| Le domaine de la fonction quotient correspond à l’intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère. S'il y a un dénominateur, il faut exclure du domaine final les restrictions sur ce dernier.

La représentation algébrique du quotient de fonctions

Exemple 1

La fonction |a| est définie par |a(x)=6x+2| et la fonction |b| est définie par |b(x)=2x^{2}+4|.

|(\frac{a}{b})(x)=a(x)\div b(x)| où |b(x)\neq0|

                       |=\frac{6x+2}{2x^{2}+4}|

                       |=\frac{2(3x+1)}{2(x^{2}+2)}|

                       |= \frac{(3x+1)}{(x^{2}+2)}|
 

Le domaine de la fonction |a| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |b| correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |(\frac{a}{b})| correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux en y enlevant les valeurs qui annulent la fonction |b|. Or, la fonction |b| est strictement positive, donc elle ne s'annule jamais. Ainsi, le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

La fonction |m| est définie par |m(x)=2x-6|  et la fonction |n| est définie par |n(x)=x-3|.

|(\frac{m}{n})(x)=m(x)\div n(x)| où |n(x)\neq0|

                       |=\frac{2x-6}{x-3}|

                       |=\frac{2(x-3)}{(x-3)}|

                       |= 2|
 

Le domaine de la fonction |m| correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction |n| correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux auquel on enlève les valeurs qui annulent la fonction |n|. La fonction |n| devient nulle lorsque |x=3|. Donc, le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| sera donc |\mathbb{R} \backslash \lbrace 3 \rbrace|.

Le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| sera encore |\mathbb{R} \backslash \lbrace 3 \rbrace| après la simplification.

La représentation graphique du quotient de fonctions

Pour trouver le quotient de fonctions polynomiales dans un graphique, on divise l’image de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou utiliser les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

|\bullet| Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions |a(x)=6x+2|, |b(x)=2x^{2}+4| et du quotient des 2 fonctions.

|x| |a(x)| |b(x)| |a(x)\div b(x)|
0 2 4 1/2
1

8

6 4/3
2 14 12 7/6
3 20 22 10/11
4 26 36 13/18

Voici la représentation graphique de l’exemple 1 :

Retour sur l'exemple 2

Voici la représentation graphique de l’exemple 2. Il est important de ne pas oublier les restrictions lorsque l'on trace le graphique du quotient des deux fonctions.


 

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