Mathématique m1117

La composition de fonctions

La composition de fonctions est une opération consistant à remplacer la variable dépendante de la première fonction par la variable indépendante, ou son égalité, de la seconde fonction.


Étant donné deux fonctions réelles |f| et |g|, on définit la composition de deux fonctions comme suit :

|(g\circ f)(x)=g(f(x))|

La fonction |(g \circ f)| est appelée la composée de |g| par |f|. On lit cette composée |g| rond |f|.

On peut également avoir |(f \circ g)(x) = f(g(x))| qui est la composée de |f| par |g|. On lit cette cette composée |f| rond |g|.

Il est à noter, qu'en général, les deux composées ne sont pas égales. Donc, la composition n'est pas une opération commutative.

•  Le domaine de la composition doit tenir compte des restrictions des domaines deux fonctions de départ.

•  Il ne faut pas confondre le symbole de la multiplication avec la symbole de la composition de fonctions.

multiplication:  |\cdot|

composition: |\circ|

La représentation algébrique et graphique de la composition de fonctions

Exemple 1

Soit la fonction |f| définie par |f(x)=2x+3| et la fonction |g| définie par |g(x)=x^2|.

La composée |(f \circ g)(x)| se calcule ainsi:

|(f \circ g)(x) = f(g(x))|
|=f(x^2)|
|=2\cdot x^2 + 3|
|=2x^2+3|

Il n'y a aucune restriction à mettre ici, donc le domaine de cette composition est |\mathbb{R}|.

La composée de |(g \circ f)(x)| se calcule ainsi:

|(g \circ f)(x) = g(f(x))|

|=g(2x+3)|

|=(2x+3)^2|

|=(2x+3)(2x+3)|

|=4x^2+12x+9|

Il n'y a aucune restrictions à mettre ici, donc le domaine de cette composition est |\mathbb{R}|.

Exemple 2

Soit la fonction |f| définie par |f(x)=1+x^2| et la fonction |g| définie par |g(x)=\sqrt{x}|.

La composée de |(f \circ g)(x)| se calcule ainsi:

|(f \circ g)(x) = f(g(x))|

|=f(\sqrt{x})|

|=1+\sqrt{x}^2|

|=1+x|

Ici, le domaine est l'ensemble des nombres réels positifs. En fait, sous la racine carrée, on ne peut mettre que des nombres positifs.

La composée de |(g \circ f)(x)| se calcule ainsi:

|(g \circ f)(x) = g(f(x))|

|=g(1+x^2)|

|=\sqrt{1+x^2}|

Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels. En effet, la fonction |1+x^2| est toujours positive et donc la fonction racine carrée est toujours bien définie.

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