Mathématique m1124

La fonction polynomiale du second degré

​Une fonction polynomiale de degré deux est une fonction dont le degré de l'expression algébrique qui l'a définie est deux. Plus précisément pour cette fiche, on fera référence au polynône |ax^2 + bx + c| avec |a, b, c \in \mathbb{R}|. 

Graphiquement parlant, c'est la parabole qui est utilisée pour tracer cette fonction.​​​ 

Par contre, il est important de faire la différence entre une fonction polynomiale de degré deux et une fonction quadratique. ​

Fonction quadratique
Le terme "quadratique" fait référence à des polynômes qui sont homogènes. En d'autres mots, cela signifie que tous les termes d'un tel polynôme doivent avoir le même degré.
Par exemple, 
|x^2 + xy + y^2| (tous les termes sont de degré 2)
|8a^3 + 12 a^2b + 6ab^2 + b^3| (tous les termes sont de degré 3)​

Par ailleurs, la seule fonction quadratique qui fait partie de la famille des fonctions polynomiale de degré deux est |ax^2|.​
Pour assurer une certaine conformité dans l'écriture de la règle de la fonction polynomiale de degré deux, on peut avoir recours à quatre différentes formes. 

|f(x)=ax^2| 
|f(x)=ax^2+bx+c| (la forme générale)
|f(x)=a(x-h)^2+k| (la forme canonique)
|f(x)=a(x-z_1)(x-z_2)| (la forme factorisée)

La fonction polynomiale du second degré de base est représentée par le graphique suivant :


On remarque qu'il y a un sommet et qu'il est situé à l'origine (0,0) du plan cartésien.

Pour une fonction polynomiale du second degré, lorsque la variable indépendante augmente d'une unité, chaque deuxième variation de la variable dépendante est constante et vaut |2a|.
Qu'en est-il pour la fonction |f(x)=2(x-1)^2+1| ?



Chaque deuxième variation de la variable dépendante vaut 4 ou |2a|. Or, si |2a=4|, alors |a=2|. Ce qui est bel et bien la valeur du paramètre |a|.

Cette fiche traite de la fonction polynomiale du second degré sous la forme |y=a(bx)^2| et du comportement de ses paramètres.

Pour des informations supplémentaires, vous pouvez consulter les fiches suivantes:

Graphiques et comportements des paramètres dans la fonction polynomiale du second degré sous la forme |f(x)=a(bx)^2|

Analyse du paramètre |a|

|\bullet| L'axe des |y| sert d'axe de symétrie, c'est-à-dire qu'un côté de la parabole est l'image de l'autre via l'axe de symétrie. Comme dans le graphique ci-haut, les points (1,1) et (-1,1) sont symétriquement opposés.

Le paramètre |a| est responsable de l’ouverture de la parabole.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite.|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande.

 

Le paramètre |a| est aussi responsable de l’orientation (l'ouverture) de la parabole.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est positif, l’ouverture de la parabole est vers le haut.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, l’ouverture de la parabole est vers le bas.

Dans la fonction |y=a(bx)^2|, le paramètre |b| joue lui aussi sur l'ouverture de la parabole.

|\bullet| Si le paramètre |b>0|, plus l’ouverture de la parabole est petite.

|\bullet| Si le paramètre |0<b<1| (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande.



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