Mathématique m1125

Les propriétés de la fonction polynomiale de degré 2

​Propriétés de la fonction polynomiale du second degré sous la forme |f(x)=ax^2|

m1125i20.PNGPropriétés de la fonction polynomiale de degré 2 ​sous la forme générale, sous la forme canonique et sous la forme factorisée

PropriétésForme générale

|f(x)=ax^2+bx+c|
Forme canonique

|f(x)=a(x-h)^2+k|
Forme factorisée

|f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)|
Domaine |x \in \mathbb{R}|
Codomaine
(image)​
​Si |a<0|, alors |\left[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty \right[|

Si |a>0|, alors |\left]-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}\right]|
Si |a>0|, alors
|[k,+\infty[|

Si |a<0|, alors
|]-\infty, k​]|
Si |a>0|, alors |\left[\frac{-a(x_2-x_1)^2}{4},+\infty\right[|

Si |a<0|, alors |\left[ - \infty, \frac{-a(x_2-x_1)^2}{4} \right[|
Ordonnée à l'origine
|(\small f(0)\normalsize)|
​|f(0)=c||f(0)=ah^2+k||f(0)=ax_1x_2​|
Il faut remplacer |x| par |0| dans l'équation et calculer la valeur du |y|.
Abscisse(s) à l'origine​
(zéro(s) de la fonction)
Si |b^2-4ac>0|, alors il y a 2 zéros distincts.

​ Si |b^2-4ac=0|, alors il y a un seul zéro.

Si |b^2-4ac<0|, alors il n'y a pas de zéro.

Les zéros peuvent être trouvés à l'aide de la factorisation ou avec la formule quadratique :
|x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}|
​Si |a| et |k| sont de signes différents, alors il y aura 2 zéros distincts.

Si |k=0|, alors il y aura un seul zéro.

Si |a| et |k| sont du même signe, alors il n'y aura pas de zéro.

Les zéros peuvent être trouvés en remplaçant |f(x)| par |0| et en isolant |x| ou en utilisant la formule suivante :
|x_{1,2}=h\pm \sqrt{\frac{-k}{a}}|.
Les zéros sont : |x_1| et |x_2|.​
Sommet
|\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)|

|​(h,k)||\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{-a(x_2-x_1)^2}{4}\right)|
​Croissance et décroissance​Si |a>0|, alors
la fonction est
décroissante sur
|\left]-\infty,\frac{-b}{2a}\right]|
et croissante sur |\left[\frac{-b}{2a},+\infty,\right[|.

​Si |a<0|, alors
la fonction est
croissante sur
|\left]-\infty,\frac{-b}{2a}\right]|
et décroissante sur
|\left[\frac{-b}{2a},+\infty,\right[|.
Si |a>0|, alors
la fonction est
décroissante sur
|]​-\infty,h]|
et croissante sur
|[h,+\infty[|.

Si |a<0|, alors
la fonction est
croissante sur
|]​-\infty,h]|
et décroissante sur
|[h,+\infty[|.
Si |a>0|, alors
la fonction est
décroissante sur
|\left]-\infty,\frac{x_1+x_2}{2}\right]|
et croissante sur
|\left[\frac{x_1+x_2}{2},+\infty,\right[|.

​Si |a<0|, alors
la fonction est
croissante sur
|\left]-\infty,\frac{x_1+x_2}{2}\right]|
et décroissante sur
|\left[\frac{x_1+x_2}{2},+\infty,\right[|.
Les extremums​ |\frac{4ac-b^2}{4a}|

C'est un maximum si |a<0|.

C'est un minimum si |a>0|.
​|k|

C'est un maximum si |a<0|.

C'est un minimum si |a>0|.
​|\frac{-a(x_2-x_1)^2}{4}|

C'est un maximum si
|a<0|.

C'est un minimum si
|a>0|.
​Les signesSi |a>0| et qu'il y a un seul ou aucun zéro, alors la fonction est positive pour tous les |x|.

​Si |a<0| et qu'il y a un seul ou aucun zéro, alors la fonction est négative pour tous les |x|.

Si |a>0| et qu'il y a 2 zéros, alors la fonction est négative pour l'intervalle des |x| compris entre les 2 zéros et elle est positive pour le reste des |x|.

Si |a<0| et qu'il y a 2 zéros, alors la fonction est positive pour l'intervalle des |x| compris entre les 2 zéros et elle est négative pour le reste des |x|.
​Axe de symétrie
|x=\frac{-b}{2a}|

​||x=h||​|x=\frac{x_1+x_2}{2}|
​AsymptotesIl n'y a pas d'asymptote​​Il n'y a pas d'asymptote Il n'y a pas d'asymptote​


Déterminez les propriétés de la fonction polynomiale du second degré d'équation ||f(x)=-2x^2-x+3.||
Il peut être utile de tracer le graphique de la fonction.


-Le domaine de la fonction est |\mathbb{R}|.

-Pour déterminer l'image de la fonction, il faut savoir si le graphique de cette dernière est ouvert vers le haut ou vers le bas et il faut connaitre l'ordonnée de son sommet, c'est-à-dire le paramètre |k|.
Le paramètre |a| étant négatif, le graphique de la fonction est ouvert vers le bas (le graphique le confirme).
Pour ce qui est du paramètre |k|, il faut le calculer grâce à la formule: |\displaystyle k=\frac{4ac-b^2}{4a}|.
|\displaystyle k = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4(-2)(3) - (-1)^2}{4 (-2)}=\frac{-25}{-8}=\frac{25}{8}|
Ainsi, l'image de la fonction est |]-\infty, \frac{25}{8}]|.

-Ici, l'ordonnée à l'origine d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale étant donnée par la valeur de |c| vaut 3.

-On peut trouver les zéros de la fonction en utilisant la formule quadratique : |\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|.
|\displaystyle x_{1,2}= \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 (-2) (3)}}{2 (-2)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{-4}|
Rendu ici, il faut séparer la formule en deux parties: l'une utilisant le + et l'autre utilisant le -. |x_1| sera un zéro et |x_2| sera l'autre zéro.
|x_1 = \displaystyle \frac{1+\sqrt{25}}{-4} = \frac{1+5}{-4}=\frac{6}{-4}=- \frac{3}{2}|
|x_2 = \displaystyle \frac{1-\sqrt{25}}{-4}=\frac{1-5}{-4}=\frac{-4}{-4}=1|
Ainsi, les deux zéros de la fonction ont pour valeurs |-\frac{3}{2}| et |1|.

-Pour trouver le paramètre |h|, il suffit de calculer la moyenne entre les deux zéros.
|h = \displaystyle \frac{-\frac{3}{2}+1}{2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}|
Ainsi, les coordonnées du sommet sont |\displaystyle (h,k)=\left( -\frac{1}{4}, \frac{25}{8} \right)|.

-La fonction est croissante sur |]-\infty, -\frac{1}{4}]| et elle est décroissante sur |[-\frac{1}{4}, +\infty[|.

-Étant donné que le graphique de la fonction est ouvert vers le bas, elle possède un maximum en |y=k|, c'est-à-dire que le maximum vaut ici |\frac{25}{8}|.

-La fonction est positive sur |[-1.5,1]| et négative sur |]-\infty,-1.5] \cup [1, +\infty[|.

-L'équation de l'axe de symétrie de la fonction est |x=h|. Donc ici, |x= -\frac{1}{4}|.

Pour déterminer les propriétés d'une fonction polynomiale du second degré, il est plus simple de travailler avec la forme canonique de la fonction.

Déterminez les propriétés de la fonction polynomiale du second degré d'équation ||f(x)=2(x-2)^2+5.|| Il peut être utile de tracer un graphique de la fonction.


-Le domaine de la fonction est |\mathbb{R}|.

-L'image de la fonction est |[5, +\infty[|. En effet, le graphique de la fonction est ouvert vers le haut, car son paramètre |a| est positif et l'ordonnée du sommet est 5.

-L'ordonnée à l'origine d'une fonction quadratique sous la forme canonique se calcule en remplaçant |x| par 0.
|f(x)=2(x-2)^2+5|
|f(0)=2(0-2)^2+5|
|f(0)=2(-2)^2+5|
|f(0)=2 (4) + 5|
|f(0)=8 + 5|
|f(0)=13|
L'ordonnée à l'origine de la fonction vaut donc 13.

-Comme l'ordonnée du sommet est plus grande que 0 et que le graphique de la fonction est ouvert vers le haut, cette dernière ne possède pas de zéro.

-Les coordonnées du sommet sont |(h,k)=(2,5)|.

-La fonction est croissante sur |[2, +\infty[| et elle est décroissante sur |]-\infty,2]|.

-Étant donné que le graphique de la fonction est ouvert vers le haut, elle possède un minimum en |y=k|, c'est-à-dire que le minimum vaut ici 5.

-Comme l'image de la fonction est toujours positive (|[5, + \infty[|), la fonction est positive sur tout son domaine.

-L'équation de l'axe de symétrie de la fonction est |x=h|. Donc ici, |x=2|.

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