Mathématique m1126

La fonction polynomiale du second degré sous la forme générale, canonique et factorisée

La fonction polynomiale du second degré peut se présenter sous une panoplie de formes.

La fonction polynomiale du second degré de base a pour équation ||f(x)=x^2.||
Si l'on veut modifier la courbure de la parabole, l'ouverture de la parabole ou encore la position du sommet de celle-ci, on doit ajouter des paramètres qui vont développer une fonction polynomiale du second degré dite transformée.

Il existe trois types de fonctions polynomiales du second degré transformées.

La forme canonique de la fonction polynomiale du second degré

Lorsqu’on transforme la forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres. La forme canonique informe sur les allongements, les rétrécissements, les réflexions et les translations que subit sa fonction de base. On dit que cette forme est porteuse de sens.

La forme canonique d'une fonction polynomiale du second degré est ||f(x)=a(x-h)^{2}+k|| où |a|, |h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

  • Le paramètre |a| est toujours non nul.
  • Les paramètres |h| et |k| représentent respectivement les coordonnées du sommet |x| et |y|.
  • Le paramètre |a| permet de déterminer l'orientation (l'ouverture) de la parabole et la courbure de celle-ci.
  • Si la valeur de |-k/a| est négative, la fonction n'a pas de zéro.
La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

La forme factorisée de la fonction polynomiale du second degré

On peut écrire l’équation d’une fonction polynomiale du second degré sous sa forme factorisée:

|f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})|

où |a|, |x_1| et |x_2| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

  • Le paramètre |a| est toujours non nul.
  • Le paramètre |a| permet de déterminer l'orientation (l'ouverture) de la parabole et la courbure de celle-ci.
  • Les paramètres |x_1| et |x_2| représentent les zéros de la fonction polynomiale du second degré.

Si la fonction ne possède pas de zéro, elle ne peut pas s'exprimer sous la forme factorisée.

La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

La forme générale de la fonction polynomiale du second degré

On peut écrire l’équation d’une fonction polynomiale du second degré sous sa forme générale :

|f(x)=ax^{2}+bx+c|

où |a|, |b| et |c| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre et |a| est toujours non nul.

  • La forme générale est une forme développée de la forme canonique et de la forme factorisée.
  • Le paramètre |a| permet de déterminer l'orientation (l'ouverture) de la parabole et la courbure de celle-ci.
  • Le paramètre |c| représente l'ordonnée à l'origine de la fonction polynomiale du second degré.
  • Si la valeur de |b^2-4ac| est négative, la fonction n'a pas de zéro.
La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

Que ce soit sous la forme générale, canonique ou factorisée, le paramètre |a| vaut toujours la même chose.

Passage de la forme canonique à la forme générale

Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l’équation de la fonction.
 
Soit l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique : |f(x)=3(x-4)^{2}+5|.

On développe :

|f(x)=3(x-4)(x-4)+5|

|f(x)=3(x^{2}-4x-4x+16)+5|

|f(x)=3(x^{2}-8x+16)+5|

|f(x)=3x^{2}-24x+48+5|

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

La forme générale de la fonction est  |f(x)=3x^2-24x+53|.

 

|(x \pm y)^2 {\color{Red} \neq} (x^2 \pm y^2)|
En effet, |(x \pm y)^2 {\color{Blue} = } (x \pm y)(x \pm y)|.
Ensuite, il faut faire le produit entre les deux binômes.

 

Passage de la forme factorisée à la forme générale

Pour passer de la forme factorisée à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l’équation de la fonction.



Soit l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée: |f(x)=4(x-2)(x+7)|.

On développe :

|f(x)=4[x^{2}+7x-2x-14]|
 
|f(x)=4[x^{2}+5x-14]|
 
|f(x)=4x^{2}+20x-56|

La forme générale de la fonction est |f(x)=4x^2+20x-56|.

Passage de la forme générale à la forme canonique

Puisque la valeur du paramètre |a| est la même peu importe la forme de l'équation, il ne suffit que de trouver les valeurs des paramètres |h| et |k|.

 

Pour trouver les valeurs des paramètres |h| et |k| on utilise généralement les formules |(h,k) = \displaystyle \left(- \frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a} \right).|
Remarque : Ces deux formules s'obtiennent à partir de la forme générale |ax^2+bx+c| en utilisant la méthode de factorisation appelée la complétion du carré.

 

 
À partir de la formule du sommet |(h,k)|

Soit l’équation suivante sous sa forme générale :

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

Il faut bien identifier les paramètres de la forme générale :
|a=3, b=-24, c=53|

Connaissant ces valeurs, on peut trouver les valeurs de |h| et |k| :

|h=\displaystyle -\frac{b}{2a}=-\frac{(-24)}{2\cdot3}=\frac{24}{6}=4|
 
|k=\displaystyle \frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{4\cdot(3)\cdot(53)-(-24)^{2}}{4\cdot(3)}=\frac{636-576}{12}=\frac{60}{12}=5|

La forme canonique de la fonction est |f(x)=3(x-4)^{2}+5|.

 

 
Par la méthode de complétion du carré

Reprenons l’exemple ci-haut et transformons cette équation générale sous la forme canonique avec la méthode de la complétion du carré :

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

1. On effectue une mise en évidence simple pour que le coefficient devant |x^2| soit 1.

|\displaystyle f(x)=3(x^{2}-8x+\frac{53}{3})|

2. On ajoute et on retranche le terme |\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^{2}|.

|\displaystyle f(x)=3(x^{2}-8x{\color{red}+16}+\frac{53}{3}{\color{red}-16})|
 
3. On effectue la complétion du carré.

|\displaystyle f(x)=3[(x-4)^{2}+\frac{53}{3}-16]|

4. On simplifie :

|\displaystyle f(x)=3[(x-4)^{2}+\frac{5}{3}]|

|\displaystyle f(x)=3(x-4)^{2}+3\cdot\frac{5}{3}|

|\displaystyle f(x) = 3  (x-4)^2 + 5|
 
5. La forme canonique de la fonction est  |\displaystyle f(x)=3(x-4)^{2}+5|.

Passage de la forme canonique à la forme factorisée

Il faut calculer les zéros de la fonction en remplaçant |f(x)| par 0 ou en utilisant la formule ||h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}. ||

 

Soit l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique: |f(x)=2(x-1)^2-8.|

1. On calcule les zéros en utilisant la formule. ||\displaystyle h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}} = 1 \pm \sqrt{-\frac{-8}{2}}|| Rendu ici, il faut séparer la formule en deux parties: l'une utilisant le + et l'autre utilisant le -. |x_1| sera un zéro et |x_2| sera l'autre zéro.
| \displaystyle x_1 = 1 + 2 = 3|
|\displaystyle x_2 = 1-2 = -1|

La forme factorisée de la fonction est  |f(x)=2(x-3)(x+1)|.

Passage de la forme générale à la forme factorisée

Il faut calculer les zéros de la fonction avec la formule quadratique ||\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.||

 

Soit l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale :
|f(x)=2x^2-4x-6|.

On calcule les zéros en utilisant la formule.
||\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 2 \cdot -6}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}|| Rendu ici, il faut séparer la formule en deux parties : l'une utilisant le + et l'autre utilisant le -. |x_1| sera un zéro et |x_2| sera l'autre zéro.
|\displaystyle x_1 = \frac{4 + 8}{4} =3|
|\displaystyle x_2 = \frac{4-8}{4}=-1|

La forme factorisée de la fonction est |f(x)=2(x-3)(x+1)|.

Passage de la forme factorisée à la forme canonique

1. Il faut calculer la valeur du paramètre |h| en utilisant la formule du point milieu:
||h= \frac{x_1 + x_2}{2}.|| où |x_1| et |x_2| sont les deux zéros.

2. Pour calculer |k|, il faut remplacer |x|, dans l'équation,  par la valeur de |h| trouvée précédemment.

 

Soit l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée : |f(x)=3(x+1)(x-2)|.

On calcule |h| avec la formule du point milieu.||\displaystyle h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-1+2}{2} = \frac{1}{2}|| 2. On remplace |x| dans l'équation par la valeur de |h|. On obtient ainsi la valeur de |k|.
|\displaystyle f(x)=3(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}-2)|
|\displaystyle f(x) = -\frac{27}{4}|
Ainsi, |k= \displaystyle -\frac{27}{4}|.

La forme canonique de l'équation est |\displaystyle f(x)=3\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{27}{4}|.

 

Pour se valider, on peut toujours prendre la forme obtenue à la fin et la transformer pour revenir vers la forme initiale.

 

D'où proviennent les formules |\displaystyle h = - \frac{b}{2a}| et |\displaystyle k = \frac{4ac-b^2}{4a}| ? Et en même temps, pourquoi la valeur de |a| est-elle la même que l'on soit sous la forme générale ou sous la forme canonique ?

On peut répondre à ces deux questions en utilisant la complétion du carré.

Il est toutefois possible de passer par une méthode astucieuse pour y arriver!

Développons la forme canonique :
|a(x-h)^2+k= a(x-h)(x-h) + k|
|a(x-h)(x-h)+k = a(x^2-2xh+h^2)+k|
|a(x^2-2xh+h^2) + k = ax^2 - 2axh + ah^2 + k|

Il faut maintenant comparer les termes de même degré entre la forme canonique et la forme générale (|ax^2+bx+c|).

|ax^2=ax^2 \Rightarrow a=a|

|\displaystyle -2axh = bx \Rightarrow h = - \frac{b}{2a}|

|\displaystyle ah^2+k = c|
On doit remplacer |h| par sa valeur.
|\displaystyle a\left( - \frac{b}{2a} \right)^2 + k =c|
|\displaystyle \frac{ab^2}{4a^2} + k = c|
|\displaystyle \frac{b^2}{4a} + k = c|
|\displaystyle k = c - \frac{b^2}{4a} \Rightarrow k = \frac{4ac-b^2}{4a}|

On a donc ce que l'on voulait.

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