Mathématique m1127

L'analyse des paramètres dans une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique ou générale

Cette fiche présente le rôle des différents paramètres d'une fonction polynomiale du second degré, tant sous la forme canonique que sous la forme générale.

L’effet des modifications d’un paramètre sous la forme canonique

La forme de base d’une fonction polynomiale du second degré est : |f(x)=x^{2}|

Lorsqu’on transforme cette forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres.

Avec l'ajout des paramètres |a|, |h| et |k| (où |h| et |k| sont les coordonnées du sommet) à la forme de base, on obtient la forme canonique |f(x)=a(x-h)^2+k|.

Remarque: Le paramère |a| doit être non nul.

Le paramètre |a|

Le paramètre |a| est responsable de l’ouverture (son étirement vertical) de la parabole.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite. On dit que la fonction subit un étirement vertical.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande. On dit que la fonction subit un rétrécissement vertical.

Le paramètre |a| est aussi responsable de l’orientation de la parabole.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est positif, l’ouverture de la parabole est vers le haut.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, l’ouverture de la parabole est vers le bas.


Le paramètre |h|

Le paramètre |h| est responsable d'une translation horizontale de la parabole.

|\bullet| Si le paramètre |h| est positif, la parabole subira une translation vers la droite.

 |\bullet| Si le paramètre |h| est négatif, la parabole subira une translation vers la gauche.

Le paramètre |k|

Le paramètre |k| est responsable d'une translation verticale de la parabole.

|\bullet| Si le paramètre |k| est positif, la parabole subira une translation vers le haut.

  |\bullet| Si le paramètre |k| est négatif, la parabole subira une translation vers le bas.

 

 

L’effet des modifications d’un paramètre sous la forme générale

Il est possible d'écrire l'équation d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale : |f(x)=ax^2+bx+c| où |a|, |b| et |c| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

Remarque: Le paramètre |a| doit être non nul.

Le paramètre |a|

Dans la forme générale, le paramètre |a| est responsable de l’ouverture (son étirement vertical) et de l'orientation de la parabole.

|\bullet| Si le paramètre |a| est positif, alors l’ouverture de la parabole sera vers le haut.

|\bullet| Si le paramètre |a| est négatif, alors l’ouverture de la parabole sera vers le bas.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite. On dit que la fonction subit un étirement vertical.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande. On dit que la fonction subit un rétrécissement vertical.

Le paramètre |b|

Lorsqu’on fait varier le paramètre |b| d’une fonction quadratique sous sa forme générale, on peut alors observer une translation oblique du sommet (qui suit la forme d'une parabole).

|\bullet| Si la valeur de |b>0|, la parabole se déplacera vers la gauche et vers le bas.


Dans l'exemple suivant, si |a=1| et |c=0|:


|\bullet| Si la valeur de |b<0|, la parabole se déplacera vers la droite et vers le bas.

Dans l'exemple suivant, si |a=1| et |c=0|:

Le paramètre |c|

|\bullet| Dans la forme générale, le paramètre |c| nous donne la valeur de l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de |y| lorsque |x=0|.

 

Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique

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Les exercices
Les références