Mathématique m1130

La résolution de problèmes de la fonction polynomiale du second degré

Pour résoudre un problème où intervient une fonction polynomiale du second degré, il faut connaître tous les rouages de cette fonction.

Une action cotée à la bourse atteint une valeur de 4,00$ six mois suite à son émission à la Bourse. La fonction qui décrit la baisse de la valeur de l'action durant les six premiers mois suivant son émission est une fonction polynomiale du second degré.

a) Si l'action possédait une valeur de 6,00$ au moment de son émission, combien valait-elle quatre mois plus tard ?

b) À quel moment au cours des six premiers mois, l'action a-t-elle atteint une valeur de 5,00$ ?

Solution:

Il est très important de définir les variables:
|x|: nombre de mois écoulés depuis l'émission de l'action à la Bourse;
|y|: valeur de l'action en $.

L'énoncé du problème nous permet d'affirmer que la fonction passe par le point (6,4) qui correspond au minimum de la fonction.

a) On peut affirmer que la fonction passe par le point (0,6).

Pour répondre à la question, il faut déterminer l'équation de la fonction. Connaissant le minimum de la fonction, nous avons donc le sommet |(h,k)=(6,4)| de la fonction.
De plus, nous connaissons un second point (0,6). Il sera donc nécessaire d'utiliser la forme canonique |y=a(x-h)^2+k| pour déterminer l'équation.

On trouver la valeur du paramètre |a| en remplaçant les valeurs connues dans l'équation.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow 6=a(0-6)^2+4|
|6=a(0-6)^2+4|
|6=a(-6)^2+4|
|6=36a + 4|
|2 = 36a|
|\displaystyle \frac{1}{18}=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=\displaystyle \frac{1}{18}(x-6)^2+4|.

Pour répondre à la question, il suffit de remplacer |x| par 4 et de trouver la valeur de |y|.
|y=\displaystyle  \frac{1}{18}(4-6)^2 + 4|
|y= \displaystyle  \frac{1}{18}(-2)^2+4|
|y=\displaystyle \frac{1}{18} \cdot 4 + 4|
|y= \displaystyle  \frac{2}{9} + 4|
|y=\displaystyle \frac{38}{9} \approx 4,22|

Ainsi, quatre mois après son émission l'action vaut 4,22$.

b) Pour déterminer après combien de mois l'action vaut-elle 5,00$, il faut remplacer |y| par 5 puis isoler |x|.
|5=\displaystyle \frac{1}{18}(x-6)^2+1|
Il faut maintenant égaler l'équation à 0.
|0=\displaystyle \frac{1}{18}(x-6)^2-1|
On peut utiliser la formule |x_{1,2} = h \pm \displaystyle \sqrt{-\frac{k}{a}}| pour trouver la valeur recherchée. Dans notre cas, |a=\frac{1}{18},h=6| et |k=-1|.
|x_{1,2} = \displaystyle 6 \pm \sqrt{-\frac{1}{\frac{-1}{18}}}|
|x_{1,2} = 6 \pm \sqrt{18}|
On sépare la formule en deux parties.
|x_1 = 6 + \sqrt{18} \approx  10,24|
|x_2 = 6 - \sqrt{18} \approx 1,76|

Ainsi, pour répondre à la question on laisse tomber la première valeur trouvée. On ne conserve que la seconde valeur.

Par conséquent, la valeur de l'action est de 5,00$ plus de un mois après son émission.

 

La quantité d'eau dans le réservoir d'une usine de traitement des eaux usées varie selon le moment de la journée. Cette situation peut être modélisée à l'aide d'une fonction polynomiale du second degré. Le réservoir de l'usine est rempli à pleine capacité, c'est-à-dire à 25 000 L, à midi. De plus, il est vide à 20h.

a) Trouvez l'équation, sous la forme générale, associée à la quantité d'eau dans le réservoir selon le moment de la journée.

b) À quelles heures le réservoir de l'usine a-t-il une quantité de 15 000 L ?

Solution:

Il est très important de définir les variables:
|x|: moment de la journée (en heures);
|y|: quantité d'eau dans le réservoir.

Il est donc possible de trouver deux couples appartenant à la fonction, c'est-à-dire les couples (12, 25 000) et (20, 0).

Le couple (12, 25 000) correspond au maximum de la fonction.

a) Pour trouver l'équation de la fonction modélisant cette situation, il faut utiliser la forme canonique. En effet, le point (12, 25 000) étant le sommet, c'est la forme canonique qui est de mise pour trouver l'équation.

La forme canonique de la fonction polynomiale du second degré est |y=a(x-h)^2+k|. Dans notre situation |(h,k)=(12,25 000)| et |(x,y)=(20,0)|. On remplace donc dans l'équation.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow 0=a(20-12)^2+25 000|
On isole maintenant la valeur de |a|.
|0=a(20-12)^2+25 000|
|0=a(8)^2 +25 000|
|0=64a + 25 000|
|-25 000 = 64a|
|-390.625=a|

Ainsi, l'équation de la fonction sous la forme canonique est |y=-390.625(x-12)^2+25 000|.

Il ne reste qu'à passer de la forme canonique à la forme générale en effectuant les manipulation algébriques.
|y=-390.625(x-12)^2+25 000|
|y=-390.625(x-12)(x-12)+25 000|
|y=-390.625(x^2-24x+144)+25 000|
|y=-390.625x^2+9375x-56 250 + 25 000|
|y=-390.625x^2+9375x-31250|

La forme générale est donc |y=-390.625x^2+9375x-31250|.

b) Pour déterminer à quelles heures le réservoir contient-il 15 000 L, il faut substituer |y| par 15 000 dans l'équation.
|15 000=-390.625x^2+9375x-31 250|

Pour résoudre une telle équation, il faut l'égaler à 0.
|\small 15000=-390.625x^2+9375x-31250 \rightarrow 0=-390.625x^2+9375x-46 250|

Maintenant, afin de trouver les solutions de cette équation, il faut utiliser la formule quadratique: |\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|. Dans notre cas, |a=-390.625, b=9375| et |c=-46 250|.
|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-9375 \pm \sqrt{9375^2 - 4\cdot -390.625 \cdot -46 250}}{2 \cdot -390.625}|
|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-9375 \pm \sqrt{15625000}}{-781.25}|
On sépare la formule en deux parties.
|\displaystyle x_1 = \frac{-9375 + \sqrt{15625000}}{-781.25} \approx 6.94|
|\displaystyle x_2 = \frac{-9375 - \sqrt{15625000}}{-781.25} \approx 17.06|

Pour donner la réponse à la question, il faut transformer les deux valeurs |x_1| et |x_2| en heures et minutes.
|x_1| correspond à 6 heures et 56 minutes. En effet, |0.94 \times 60 = 56.4| minutes que l'on peut arrondir à 56 minutes.
|x_2| correspond à 17 heures et 4 minutes. En effet, |0.06 \times 60 = 3.6| minutes que l'on peut arrondir à 4 minutes.

Ainsi, le niveau du réservoir sera de 15 000L à 6h56 et 17h04.

Les vidéos
 
Les exercices
Les références