Mathématique m1133

La recherche de la règle d'une fonction racine carrée

On peut distinguer deux cas lorsque l'on recherche la règle d'une fonction racine carrée:

Cas où le sommet est |(0,0)|

Regardons comment trouver l'équation d'une fonction racine carrée lorsque l'on sait que son sommet est (0,0) et lorsque l'on connaît un point par lequel elle passe.

1. On détermine la valeur de |b|.  Si la fonction est tournée vers la gauche alors  |b=-1| et si elle est tournée vers la droite alors |b=1|.

2. On remplace |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du couple et on isole le |a|.

 

Soit le graphique d'une fonction racine carrée sous la forme |f(x)=a\sqrt{bx}| dont le sommet est (0,0) et qui passe par le point (-9,15).


1.
On détermine la valeur de |b|.
Ici, la fonction racine carrée est tournée vers la gauche, donc la valeur de |b| est -1.

2. On remplace |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du couple et on isole |a|.
On prend le couple (-9,15).
|y=a\sqrt{bx}|
|15=a\sqrt{-1(-9)}|
|15=a\cdot3|
|\frac{15}{3}=a|
|5=a|

3. On réécrit l'équation avec la valeur de |a| trouvée.
|y=5\sqrt{-x}|

Cas où le sommet est différent de |(0,0)|

Pour trouver la règle d’une fonction racine carrée lorsqu’on a les coordonnées du sommet et un point quelconque de la fonction, il faut utiliser l’équation sous la forme canonique, c'est-à-dire sous la forme

|f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k|.

Trouvons l'équation d'une fonction racine carrée dont le sommet est (-1,-3) et qui passe par le point (-5,1). L'équation canonique d'une fonction racine carrée peut s'écrire sous deux formes :


Il faut donc positionner les deux points de notre fonction sur un graphique pour pouvoir déterminer laquelle de ces deux formes nous allons devoir utiliser. On obtient le graphique suivant :


Puisque la branche de notre fonction racine carrée est orientée vers la gauche nous allons donc utiliser la forme canonique suivante (cas où b=-1) :


 

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