Mathématique m1135

La réciproque de la fonction racine carrée

Dans cette fiche, vous trouverez les informations pertinentes sur la réciproque d'une fonction racine carrée.

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction racine carrée à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation y = x, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction racine carrée.


Il faut garder en mémoire que la réciproque d’une fonction racine carrée est une fonction quadratique RESTREINTE. Ce n’est qu’une partie de la parabole.

La réciproque de façon algébrique

1. On change le « x » pour le « y » et le « y » pour le « x ».

2. On isole la variable dépendante « y ».

La restriction de la réciproque d'une fonction racine carrée

La réciproque de la fonction racine carrée a donc la forme d’une fonction quadratique. Mais il ne faut pas oublier que ce n’est qu’une demi-parabole qui est en fait la réciproque d’une fonction racine carrée.

Il faut trouver la restriction du domaine. Pour ce faire, il nous faut trouver le sommet de cette parabole. Le sommet nous est donné dans l’équation de la réciproque, car celle-ci est sous la forme canonique.


On remarque que les coordonnées du sommet sont inversées, or il en va de même pour le domaine et l'image. C'est donc, l'image de la fonction racine carrée qui pose la restriction dans la parabole.

Dans notre exemple, l'image dans la fonction racine carrée est la suivante [10,+∞[.

Le domaine de la fonction quadratique (la parabole) sera [10,+∞[.

L’équation de la fonction réciproque de notre exemple est donc la fonction quadratique restreinte suivante :


On peut vérifier graphiquement cette fonction réciproque.


Reprenons la même fonction racine carrée initiale, mais changeons le signe du paramètre |a|.

Nous arrivons exactement à la même équation pour la réciproque. Ce qui va faire une différence cette fois, c’est la restriction, le domaine qui ne sera pas le même.

Trouvons cette restriction. Les coordonnées du sommet sont les mêmes.


Dans notre exemple, l'image dans la fonction racine carrée est la suivante ]-∞,10].

Le domaine de la fonction quadratique (la parabole) sera ]-∞,10].

L’équation de la fonction réciproque de notre exemple est donc la fonction quadratique restreinte suivante :


On peut vérifier graphiquement cette fonction réciproque.
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