Mathématique m1138

L'analyse des paramètres dans une fonction rationnelle sous la forme canonique

Lorsqu’on ajoute les paramètres |a|, |b|, |h|, |k| à la forme de base |f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}|, on obtient ce que l'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction rationnelle.

La forme canonique de la fonction rationnelle est ||f(x) = \displaystyle \frac{a}{b(x-h)}+k|| où |a,b,h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

Remarque: Les paramètres |a| et |b| doivent être non nuls.

On peut exprimer la règle d’une fonction rationnelle transformée avec seulement trois paramètres. En effet, on peut transformer la règle de la fonction rationnelle de la façon suivante :

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| est responsable d’un changement d’échelle verticale de facteur |a|.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus le graphique de la fonction rationnelle s’éloigne de ses asymptotes.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus le graphique de la fonction rationnelle se rapproche de ses asymptotes

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| est responsable d’un changement d’échelle horizontale de facteur |\frac{1}{b}|.

|\bullet| Plus le paramètre |b| est grand, plus le graphique se rapproche de ses asymptotes.

|\bullet| Plus le paramètre |b| est petit (près de 0), plus le graphique s’éloigne de ses asymptotes.

Combinaison des paramètres |a| et |b|

Le paramètre |a| et le paramètre |b| sont aussi responsable de l’orientation du graphique.

|\bullet| Lorsque les deux paramètres sont de mêmes signes, la fonction est décroissante sur les deux intervalles de son domaine. Les branches de l’hyperbole de situe dans le premier et troisième quadrant.

|\bullet| Lorsque les deux paramètres sont de signes contraires alors la fonction est croissante sur les deux intervalles de son domaine. Les branches de l’hyperbole se situent dans le deuxième et quatrième quadrant. 

Analyse du paramètre |h|

Le paramètre |h| est responsable du déplacement horizontal du graphique de la fonction rationnelle. 

|\bullet| Si le paramètre |h| est positif, le graphique de la fonction rationnelle se déplacera vers la droite.


|\bullet| Si le paramètre |h| est négatif, le graphique de la fonction rationnelle se déplacera vers la gauche.

 

Analyse du paramètre |k|

Le paramètre |k| est responsable du déplacement vertical du graphique de la fonction rationnelle.

|\bullet| Si le paramètre |k| est positif, le graphique de la fonction rationnelle se déplacera vers le haut.

 

|\bullet| Si le paramètre |k| est négatif, la graphique de la fonction rationnelle se déplacera vers le bas.

 

Asymptotes

Les asymptotes d'une fonction rationnelle ont comme équations |x=h| et |y=k|.

Dans le graphique suivant, les asymptotes sont en pointillés.

 

Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique

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