Mathématique m1141

La réciproque de la fonction rationnelle

La réciproque d'une fonction rationnelle se détermine de deux façons :

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction rationnelle à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation |y = x|, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction rationnelle.
 

 
Il est important de s'apercevoir que les asymptotes s'interchangent également.

La réciproque de façon algébrique

Pour trouver la réciproque de façon algébrique :

1. Il faut intervertir |x| et |y|.

2. Ensuite on isole la variable dépendante |y| et on obtient ainsi la fonction réciproque recherchée.

 

Sous la forme canonique

|f(x)=\displaystyle \frac{-2}{5(x-1)}-2|

|y= \displaystyle \frac{-2}{5(x-1)}-2|

-On intervertit la variable indépendante et la variable dépendante.

|x= \displaystyle \frac{-2}{5(y-1)}-2|

-On isole |y|.

|x+2= \displaystyle \frac{-2}{5(y-1)}-2+2|

|x+2= \displaystyle \frac{-2}{5(y-1)}|

-On intervertit |5(y-1)| et |x+2| (c'est une propriété des proportions).

|5(y-1)= \displaystyle \frac{-2}{x+2}|

|y-1= \displaystyle \frac{-2}{5(x+2)}|

|y= \displaystyle \frac{-2}{5(x+2)}+1|

Graphiquement on obtient :

 

 

Sous la forme |f(x)=\frac{P}{Q}|
 
|f(x)=\displaystyle \frac{5x+7}{3x+1}|
 
|y=\displaystyle \frac{5x+7}{3x+1}|
 
-On intervertit la variable indépendante et la variable dépendante.

|x=\displaystyle \frac{5y+7}{3y+1}|
 
-On isole y.

|x=\displaystyle \frac{5y+7}{3y+1}|

-On effectue un produit croisé.

|x\cdot(3y+1)=5y+7|

|3xy+x=5y+7|

-On envoie les |x| et |y| de deux côtés différents dans l'égalité.

|3xy+x-5y=7|

|3xy-5y=7-x|

-On effectue une mise en évidence simple dans le membre de gauche de l'égalité.

|y(3x-5)=7-x|

-On divise par |3x-5|.

|y=\displaystyle \frac{7-x}{3x-5}|

Graphiquement on obtient :
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