Mathématique m1144

L'analyse des paramètres dans une fonction exponentielle sous la forme canonique

Lorsqu’on ajoute les paramètres |a|, |b|, |h|, |k| à la forme de base |f(x)=c^x|, on obtient ce que l'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction exponentielle.

La forme canonique d'une fonction exponentielle est : |f(x)=a\cdot c^{b(x–h)}+k|
où |a|, |b|, |h| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre.

Les paramètres |a|, |b| et la valeur de |c| doivent être non nuls. De plus, la base |c| doit être supérieur à 0, mais différent de 1.

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| engendre une réflexion par rapport à l'axe des |x|. Il change aussi l'échelle verticale de la fonction.

|\bullet| Lorsque |a>0|, la fonction sera tournée vers le haut.

|\bullet| Lorsque |a<0|, la fonction sera tournée vers le bas.

|\bullet| Si | a >1|, la fonction sera allongée verticalement et si | 0< a <1|,  la fonction sera contractée sur la verticale.

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| est responsable d'une réflexion par rapport à l'axe des |y|. Il change aussi l'échelle horizontale de la fonction.

|\bullet| Lorsque |b>0|, la courbe est croissante de la gauche vers la droite.

|\bullet| Lorsque |b<0|, la courbe est décroissante de la gauche vers la droite.

|\bullet| Si |  b >1|, la fonction sera contractée horizontalement et si  |0< b  <1|, la fonction sera allongée horizontalement.

Analyse de la base |c|

Le paramètre |c| détermine la croissance de la fonction.

|\bullet| Si |c| est compris entre 0 et 1 (|0<c<1|), la fonction est décroissante.

|\bullet| Si |c>1|, la fonction est croissante.

Analyse du paramètre |h|

Le paramètre |h| est responsable d'une translation horizontale de chaque point de la fonction.

|\bullet| Si le paramètre |h| est positif,  la translation se fera vers la droite.

|\bullet| Si le paramètre |h| est négatif, la translation se fera vers la gauche.

Analyse du paramètre |k|

Le paramètre |k| est responsable d'une translation verticale de chaque point de la fonction.

|\bullet| Si le paramètre |k| est positif, la translation se fera vers le haut.

|\bullet| Si le paramètre |k| est négatif, la translation se fera vers le bas.

Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique

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