Mathématique m1145

La recherche de la règle d'une fonction exponentielle

​Il y a deux cas à distinguer pour la recherche de la règle d'une fonction exponentielle.

Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table des valeurs, on peut laisser tomber la forme |y=ac^{bx}| puisque la forme |y=ac^x| lui est équivalente.

Par contre, le rôle du paramètre |b| prend tout son sens lorsqu'on décrit une situation réelle étant donné qu'il fait référence à la fréquence à laquelle le pourcentage de variation est calculé. 

Recherche de la règle de la fonction exponentielle sous la forme |y= ac^x|

Dans le cas de la fonction exponentielle, il est possible de trouver sa règle selon deux méthodes. Par contre, ces méthodes ne sont pas équivalentes, mais complémentaires étant donné qu'elles doivent être utilisées dans des situations bien précises. 

Avec l'ordonnée à l'origine et un point aléatoire situé sur la courbe

Dès que la coordonnée de l'ordonnée à l'origine est connue, on peut appliquer cette démarche. 

1. Trouver la valeur du paramètre |a| en substituant la coordonnée de l'ordonnée à l'origine dans l'équation de base |y=ac^x|
2. Trouver la valeur du paramètre |c| en utilisant la coordonnée de l'autre point.

Concrètement, la démarche complète peut s'illustrer de la façon suivante. 
Quelle est l'équation de la courbe illustrée ci-dessous? 


1. Trouver la valeur du paramètre |a| en substituant la coordonnée de l'ordonnée à l'origine dans l'équation de base |y=ac^x|
Selon les propriétés des exposants, on obtient 
||\begin{align}
& y && = && ac^x \\
\Rightarrow & -5&& =&& a\cdot c^{0}\\
& -5 && = && a \cdot 1 \\
\Rightarrow & -5 && = && a \end{align}||

2. Trouver la valeur du paramètre |c| en utilisant la coordonnée de l'autre point
À partir des informations trouvées à l'étape 1, on utilise la coordonnée de l'autre point:
||\begin{align}
& y && = && -5c^x \\
\Rightarrow & \frac{-5}{3}&&=&&-5\cdot c^{-1}\\
\Rightarrow &\frac{-5}{-15}&&=&&c^{-1}\\
&\frac{1}{3}&&=&&c^{-1}\\
\Rightarrow & \frac{1}{3} && = && \frac{1}{c}\\
\Rightarrow  & c && = && 3 \end{align}||

En guise de rappel, l'exposant négatif est une des propriétés des exposants qui est essentielle à la résolution de ce problème. 

Au final, l'équation de la fonction sera |y=-5\cdot3^{x}|.

Avec deux points aléatoires situés sur la courbe

Pour ce type de situation en particulier, l'utilisation de la méthode de résolution d'équation par comparaison est inévitable.

1. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations
2. Déterminer la valeur du paramètre |c| par la méthode de résolution par comparaison
3. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|
Concrètement, le tout se manifeste de la façon suivante. 

Détermine l'équation de la courbe passant par les points |(2,\frac{-9}{2})| et |(-2,\frac{-8}{9})|.

1.Substituer chacun des points pour créer un système d'équations
||\begin{align}
\text{premier couple} && \text{deuxième couple} \\
y = ac^x && y = ac^x \\\\
\frac{-9}{2} = ac^2 && \frac{-8}{9} = ac^{-2} && \text{substituer "x" et "y"} \\\\
\frac{-9}{2c^2} = a && \frac{-8}{9c^{-2}} = a && \text{isoler "a"}\end{align}||

2. Déterminer la valeur du paramètre |c| par la méthode de résolution par comparaison
||\begin{align}
\frac{-9}{2c^2} && = && \frac{-8}{9c^{-2}} \\\\
-9 \cdot 9c^{-2} && = && -8 \cdot 2c^2 \\\\
-81 && = && \frac{-16c^2}{c^{-2}} \\\\
-81 && = && -16c^{2 -^-2} && \text{propriétés des exposants} \\\\
\sqrt[4]{\frac{-81}{-16}} && = && \sqrt[4]{c^4} \\\\
1,5 && = && c \end{align}||

3. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|
||\begin{align}
& y && = && a \cdot 1,5^x\\\\
\Rightarrow & \frac{-9}{2} && = && a \cdot 1,5^2\\\\
& \frac{-9}{2} \color{red}{\div 2,25} && = && a \cdot 2,25 \color{red}{\div 2,25}\\\\
& -2 && = && a \end{align}||

On conclut en donnant l'équation de la fonction exponentielle : |y=-2(1,5)^x|.

 

Recherche de la règle de la fonction exponentielle de la forme |y= ac^x+k|

Il est plus pratique d'utiliser la forme réduite (|y=ac^x+k|) que la forme canonique (|y=ac^{b(x-h)}+k|). Cette forme s'obtient grâce aux lois des exposants.

Remarque : Toutefois, le |a| de la forme réduite n'est pas égal au |a| de la forme canonique. Il en est de même pour le |c|.

 

Lorsque l'on travaille avec une fonction exponentielle, il y a un facteur multiplicatif entre les variations de la variable dépendante, lorsque la variable indépendante augmente de 1. Ce facteur multiplicatif correspond à la base de la fonction.

 

Voici la table de valeurs de la fonction |y=2\cdot 3^x-1|.

On remarque que le facteur multiplicatif est 3 et ceci correspond à la base de notre fonction.

Si le facteur multiplicatif est négatif, on doit prendre le signe contraire. En effet, la base d'une fonction exponentielle ne peut pas être négative.

Regardons la marche à suivre lorsque l'on connaît la table de valeurs.

1. On détermine les variations de la variable dépendante (il faut que celles de la variation indépendante soient de 1). Ensuite, on trouve le facteur multiplicatif.

2. On utilise deux couples |(x,y)| que l'on remplace dans l'équation |y=ac^x+k|.

3. On isole le |k| dans les deux équations.

4. On résout le système d'équations algébriquement. On trouve ainsi le |a|.

5. On remplace dans l'une ou l'autre des deux équations afin de trouver la valeur de |k|.

6. On écrit l'équation de notre fonction.

 

Quelle est l'équation de la fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k| représentée par la table de valeurs :



1. On détermine les variations de la variable dépendante et ensuite le facteur multiplicatif.

On peut donc déduire que la base (|c|) vaut 2.

2. Nous allons utiliser les couples (2,5) et (5,19).

On obtient alors |5=a\cdot2^2+k| et |19=a\cdot2^5+k|.

|5=4a+k| et |19=32a+k|

3. On isole le |k| dans les deux équations.

On obtient |5-4a=k| et |19-32a=k|.

4. On résout ce système d'équations. Pour y arriver, il serait approprié d'utiliser la méthode de comparaison.

|5-4a=19-32a|
|5=19-28a|
|-14=-28a|
|0.5=a|

5. On remplace |a| dans l'une ou l'autre des deux équations de l'étape 2.

|5=4 \cdot 0,5 + k|

On isole |k|.

|5=2+k|

|3=k|

6. On écrit l'équation :  |y=0,5\cdot 2^x+3|.

 

Pourquoi la méthode présentée dans la recherche de la règle d'une fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k| fonctionne-t-elle ?

Voici une preuve intuitive :

Sans perte de généralité, prendre trois couples de points dont les abscisses sont consécutives : |(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)| suffit.

Ainsi :
|y_1=ac^{x_1}+k|
|y_2=ac^{x_2}+k|
|y_3=ac^{x_3}+k|

Il faut calculer les variations de la variable indépendante:
|y_2-y_1=ac^{x_2}+k-(ac^{x_1}+k)|
Alors : |y_2-y_1=ac^{x_2}-ac^{x_1}|
|y_3-y_2=ac^{x_3}+k-(ac^{x_2}+k)|
Alors : |y_3-y_2 = ac^{x_3}-ac^{x_2}|

À cette étape, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=a(c^{x_2}-c^{x_1})|
|y_3-y_2=a(c^{x_3}-c^{x_2})|

Maintenant, il faut remarquer que |x_2=x_1+1| et que |x_3=x_2+1|.

Il faut substituer dans les deux variations calculées.
|y_2-y_1=a(c^{x_1+1}-c^{x_1})|
|y_3-y_2=a(c^{x_2+1}-c^{x_2})|

Encore une fois, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=ac^{x_1}(c-1)|
|y_3-y_2=ac^{x_2}(c-1)|

Il ne reste qu'à diviser les deux variations :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{ac^{x_2}(c-1)}{ac^{x_1}(c-1)}|

Comme |c \neq 1| et que |a \neq 0|, alors :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{c^{x_2}}{c^{x_1}} = \frac{c^{x_1+1}}{c^{x_1}}|

Or, |\displaystyle \frac{c^{x_1+1}}{c^{x_1}} = \frac{c}{1}|.

Par conséquent :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = c|

C'est ce qui explique pourquoi la variation des valeurs de la variable dépendante, lorsque les abscisses sont consécutives, permet de trouver la base |c| de la fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k|.

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Les exercices
Les références