Mathématique m1145

La recherche de la règle d'une fonction exponentielle

​Il y a plusieurs cas à distinguer pour la recherche de la règle d'une fonction exponentielle.

Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table de valeurs, on peut laisser tomber la forme |y=a_1(c_1)^{b(x-h)}| puisque la forme |y=a_2(c_2)^x| lui est équivalente.

Par contre, le rôle du paramètre |b| dans la forme |y=a(c)^{bx}| prend tout son sens lorsqu'on décrit une situation réelle étant donné qu'il fait référence à la fréquence à laquelle le pourcentage de variation est calculé. 

Recherche de la règle de la fonction exponentielle sous la forme |y= a(c)^x|

Dans le cas de la fonction exponentielle, il est possible de trouver sa règle selon deux méthodes. Par contre, ces méthodes ne sont pas équivalentes, mais complémentaires étant donné qu'elles doivent être utilisées dans des situations bien précises. 

Avec l'ordonnée à l'origine et un point aléatoire situé sur la courbe

Dès que les coordonnées de l'ordonnée à l'origine sont connues, on peut appliquer cette démarche. 

1. Trouver la valeur du paramètre |a| en substituant les coordonnées de l'ordonnée à l'origine dans l'équation de base |y=a(c)^x|.
2. Trouver la valeur de la base |c| en utilisant les coordonnées de l'autre point.

Concrètement, la démarche complète peut s'illustrer de la façon suivante. 

Quelle est l'équation de la courbe illustrée ci-dessous? 
m1145i01.PNG

1. Trouver la valeur du paramètre |a| en substituant la coordonnée de l'ordonnée à l'origine dans l'équation de base |y=a(c)^x|.

Selon les propriétés des exposants, on obtient 
||\begin{align}
& y && = && a(c)^x \\
\Rightarrow & -5&& =&& a(c)^{0}\\
& -5 && = && a \times 1 \\
\Rightarrow & -5 && = && a \end{align}||

2. Trouver la valeur de la base |c| en utilisant les coordonnées de l'autre point.

À partir des informations trouvées à l'étape 1, on utilise les coordonnées de l'autre point:
||\begin{align}
& y && = && -5(c)^x \\
\Rightarrow & \frac{-5}{3}&&=&&-5 (c)^{-1}\\
\Rightarrow &\frac{-5}{-15}&&=&&(c)^{-1}\\
&\frac{1}{3}&&=&&(c)^{-1}\\
\Rightarrow & \frac{1}{3} && = && \frac{1}{c}\\
\Rightarrow  & c && = && 3 \end{align}||

En guise de rappel, l'exposant négatif est une des propriétés des exposants qui est essentielle à la résolution de ce problème. 

Au final, l'équation de la fonction sera |y=-5(3)^{x}|.

Avec deux points aléatoires situés sur la courbe

Pour ce type de situation en particulier, l'utilisation de la méthode de résolution d'équation par comparaison est inévitable.

1. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.
2. Déterminer la valeur de la base |c| par la méthode de résolution par comparaison.
3. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|.

Concrètement, le tout se manifeste de la façon suivante.

Détermine l'équation de la courbe passant par les points |(2,\frac{-9}{2})| et |(-2,\frac{-8}{9})|.

1. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.
||\begin{align}
\text{premier couple} && \text{deuxième couple} \\
y = a(c)^x && y = a(c)^x \\\\
\frac{-9}{2} = a(c)^2 && \frac{-8}{9} = a(c)^{-2} && \text{substituer "x" et "y"} \\\\
\frac{-9}{2(c)^2} = a && \frac{-8}{9(c)^{-2}} = a && \text{isoler "a"}\end{align}||

2. Déterminer la valeur de la base |c| par la méthode de résolution par comparaison.
||\begin{align}
\frac{-9}{2(c)^2} && = && \frac{-8}{9(c)^{-2}} \\\\
-9 (9)(c)^{-2} && = && -8 (2)(c)^2 \\\\
-81 && = && \frac{-16(c)^2}{(c)^{-2}} \\\\
-81 && = && -16(c)^{2 -^-2} && \text{propriétés des exposants} \\\\
\sqrt[4]{\frac{-81}{-16}} && = && \sqrt[4]{(c)^4} \\\\
1,5 && = && c \end{align}||

3. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|.
||\begin{align}
& y && = && a (1,5)^x\\\\
\Rightarrow & \frac{-9}{2} && = && a (1,5)^2\\\\
& \frac{-9}{2} \color{red}{\div 2,25} && = && a (2,25) \color{red}{\div 2,25}\\\\
& -2 && = && a \end{align}||

On conclut en donnant l'équation de la fonction exponentielle : |y=-2(1,5)^x|.

Recherche de la règle de la fonction exponentielle de la forme |y= a(c)^x+k|

Il est plus pratique d'utiliser la forme réduite (|y=a(c)^x+k|) que d'utiliser la forme canonique (|y=a(c)^{b(x-h)}+k|). Cette forme s'obtient grâce aux lois des exposants.

Remarque : Toutefois, la valeur du paramètre |a| de la forme réduite n'est pas égale à celle de la forme canonique. Il en va de même pour la valeur de la base |c|.

Avec l'asymptote et deux points aléatoires situés sur la courbe

Pour ce type de situation en particulier, l'utilisation de la méthode de résolution d'équation par comparaison est inévitable.

1. Remplacer |k| par la valeur de l'asymptote.
2. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.
3. Déterminer la valeur de la base |c| à l'aide de la méthode de résolution par comparaison.
4. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|.

Concrètement, le tout se manifeste de la façon suivante. 

Détermine l'équation de la fonction représentée dans le plan cartésien ci-dessous.
m1146-04.png         

1. Remplacer |k| par la valeur de l'asymptote.
||\begin{align}
y&=a(c)^x+\color{blue}{k}\\
y&=a(c)^x+\color{blue}{3} \end{align}||
2. Substituer chacun des points pour créer un système d'équations.
||\begin{align} \text{premier couple} && \text{deuxième couple} \\ y = a(c)^x+3 && y = a(c)^x+3 \\\\ 10,5 = a(c)^{-1}+3 && 3,06 = a(c)^{2}+3 && \text{substituer }"x" \text{ et } "y" \\\\ 7,5=a(c)^{-1} && 0,06=a(c)^2 \\\\ \frac{7,5}{(c)^{-1}} = a && \frac{0,06}{(c)^{2}} = a && \text{isoler } "a"\end{align}||
3. Déterminer la valeur de la base |c| par la méthode de résolution par comparaison.
||\begin{align} a & = a \\\\ \frac{7,5}{(c)^{-1}} & = \frac{0,06}{(c)^{2}} \\\\ \frac{(c)^2}{(c)^{-1}} & = \frac{0,06}{7,5} \\\\ (c)^{2-(\text{-}1)} & = 0,008 && \text{propriétés des exposants} \\\\ \sqrt[3]{(c)^3} & = \sqrt[3]{0,008} \\\\ c & = 0,2\end{align}||
4. Utiliser un des deux points fournis pour trouver la valeur du paramètre |a|.
||\begin{align}
& y && = && a (0,2)^x+3\\\\
\Rightarrow\ \ & 3,06 && = && a (0,2)^2+3\\\\
& 0,06 \color{red}{\div 0,04} && = && a (0,04) \color{red}{\div 0,04}\\\\
& 1,5 && = && a \end{align}||
On conclut en donnant l'équation de la fonction exponentielle : |y=1,5(0,2)^x+3|.

Dans le dernier exemple, on peut appliquer une autre technique de résolution de système d'équations que la méthode de comparaison. Il s'agit d'une méthode de réduction à l'aide de la division. Voici comment il faut procéder.

Lorsqu'on a obetenu les 2 équations suivantes : |7,5=a(c)^{-1}\ \text{ et }\  0,06=a(c)^2|, on peut simplement les diviser comme suit :
||\begin{align} \frac{7,5}{0,06}&=\frac{a(c)^{-1}}{a(c)^2}\\ 125 &= a^{1-1}(c)^{-1-2}&& \text{propriétés des exposants}\\ 125 &= (c)^{-3}&& \text{comme }a^{1-1}=a^0=1,\ "a" \ \text{ disparait}\\ 125 &=\frac{1}{(c)^3}\\ (c)^3 &=\frac{1}{125}\\ \sqrt[3]{(c)^3} &=\sqrt[3]{\frac{1}{125}}\\ c &=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{1}{5}=0,2 \end{align}||Nous obtenons évidemment le même résultat avec cette stratégie.

Avec la table de valeurs

Avec la fonction exponentielle, il y a un facteur multiplicatif entre les variations de la variable dépendante lorsque la variable indépendante augmente de 1. Ce facteur multiplicatif correspond à la base de la fonction.

Voici la table de valeurs de la fonction |y=2(3)^x-1|.



On remarque que le facteur multiplicatif est 3 et ceci correspond à la base |c| de la fonction exponentielle.


Regardons la marche à suivre lorsque l'on connait la table de valeurs.

1. Déterminer les variations de la variable dépendante (il faut que celles de la variable indépendante soient de 1) pour déduire le facteur multiplicatif.

2. Utiliser deux couples |(x,y)| que l'on remplace dans l'équation |y=a(c)^x+k|.

3. Isoler le |k| dans les deux équations.

4. Résoudre le système d'équations algébriquement pour trouver la valeur du paramètre |a|.

5. Remplacer dans l'une ou l'autre des deux équations afin de trouver la valeur du paramètre |k|.

6. Écrire l'équation de la fonction exponentielle.

 

Quelle est l'équation de la fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k| représentée par la table de valeurs :



1. Déterminer les variations de la variable dépendante (il faut que celles de la variable indépendante soient de 1) pour déduire le facteur multiplicatif.


On peut donc déduire que la base (|c|) vaut 2.

2. Utiliser deux couples |(x,y)| que l'on remplace dans l'équation |y=a(c)^x+k|.

En utilisant (2,5) et (5,19), on obtient
||\begin{align}
&5=a(2)^2+k| && \text{et} && 19=a(2)^5+k\\
\Rightarrow & 5 = 4a + k && \text{et} && 19 = 32a + k \end{align}||
3. Isoler le |k| dans les deux équations.
||\begin{align} 
&5=a(2)^2+k| && \text{et} && 19=a(2)^5+k\\
\Rightarrow & 5=4a+k && \text{et} && 19=32a+k\\
\Rightarrow & 5 - 4a = k && \text{et} && 19 - 32a=k \end{align}||
4. Résoudre le système d'équations algébriquement pour trouver la valeur du paramètre |a|.

Par la méthode de comparaison, on obtient:
||\begin{align}
5-4a&=&&19-32a\\
5&=&&19-28a\\
-14&=&&-28a\\
0,5&=&&a\end{align}||
5. Remplacer dans l'une ou l'autre des deux équations afin de trouver la valeur du paramètre |k|.
||\begin{align} 
5 & = 4a + k \\
5 & =4 (0,5) + k \\
5 & = 2 + k \\
3 &= k \end{align}||
6. Écrire l'équation de la fonction exponentielle.
 ||y=0,5(2)^x+3||

 

Pourquoi la méthode présentée dans la recherche de la règle d'une fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k| fonctionne-t-elle ?

Voici une preuve intuitive!

Sans perte de généralité, prendre trois couples de points dont les abscisses sont consécutives, tels |(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)|, suffit.

Ainsi :
|y_1=a(c)^{x_1}+k|
|y_2=a(c)^{x_2}+k|
|y_3=a(c)^{x_3}+k|

Il faut calculer les variations de la variable indépendante:
|y_2-y_1=a(c)^{x_2}+k-(a(c)^{x_1}+k)|
Alors : |y_2-y_1=a(c)^{x_2}-a(c)^{x_1}|
|y_3-y_2=a(c)^{x_3}+k-(a(c)^{x_2}+k)|
Alors : |y_3-y_2 = a(c)^{x_3}-a(c)^{x_2}|

À cette étape, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=a((c)^{x_2}-(c)^{x_1})|
|y_3-y_2=a((c)^{x_3}-(c)^{x_2})|

Maintenant, il faut remarquer que |x_2=x_1+1| et que |x_3=x_2+1|.

Il faut substituer dans les deux variations calculées.
|y_2-y_1=a((c)^{x_1+1}-(c)^{x_1})|
|y_3-y_2=a((c)^{x_2+1}-(c)^{x_2})|

Encore une fois, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=a(c)^{x_1}(c-1)|
|y_3-y_2=a(c)^{x_2}(c-1)|

Il ne reste qu'à diviser les deux variations :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{a(c)^{x_2}(c-1)}{a(c)^{x_1}(c-1)}|

Comme |c \neq 1| et que |a \neq 0|, alors :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{(c)^{x_2}}{(c)^{x_1}} = \frac{(c)^{x_1+1}}{(c)^{x_1}}|

Or, |\displaystyle \frac{(c)^{x_1+1}}{(c)^{x_1}} = \frac{c}{1}|.

Par conséquent :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = c|

C'est ce qui explique pourquoi la variation des valeurs de la variable dépendante, lorsque les abscisses sont consécutives, permet de trouver la base |c| de la fonction exponentielle sous la forme |y=a(c)^x+k|.


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