Mathématique m1146

Tracer une fonction exponentielle dans un graphique

Voici les différentes méthodes utilisées afin de bien tracer une fonction exponentielle:

Tracer une fonction exponentielle à l'aide d'une table de valeurs

Cas où |y=ac^{b(x-h)}+k|

Afin de tracer la fonction exponentielle à l'aide de sa règle et d'une table de valeurs, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Dans la règle de la fonction exponentielle, remplacer |x| par quelques valeurs (par exemple, -10, -5, -1, 0, 1, 5, 10).

2.
Tracer les points ainsi obtenus |(x,y)| dans un plan cartésien et relier les points pour tracer la courbe.

 

Tracer la fonction exponentielle suivante:

|y = -1(2)^{4(x-2)}+5|.

1. On remplace |x| par quelques points pour obtenir les valeurs de |y| correspondantes. On peut remplacer |x| par les valeurs 2, 3, 4 et 5:

Pour |x = 2| :
|y=-1(2)^{4(2-2)}+5|
|y = 4|

Pour |x = 3| :
|y = -1(2)^{4(3 - 2)} + 5|
|y = -11|

Pour |x = 4| :
|y = -1(2)^{4(4 - 2)} + 5|
|y = -251|

Pour |x = 5| :
|y = -1(2)^{4(5 - 2)} + 5|
|y = -4091|

On a donc les couples (2,4), (3,-11), (4,-251), (5,-4091).

2. Placer les points obtenus dans un plan cartésien et tracer la courbe.

Cas où |y=ac^x|

Si l'équation de la fonction exponentielle est sous la forme |y=ac^{x}| ou sous la forme |y=ac^{bx}|, on peut placer tout de suite le point |(0,a)| dans le plan cartésien. En effet, sous cette forme, le |a| correspond directement à la valeur initiale.

 

Traçons la fonction exponentielle |y=2(3)^x|.
En vertu de l'encadré précédent, on peut aller mettre dans un plan cartésien le point (0,2).
Ensuite, il suffit de se faire une table de valeurs.

Il ne reste qu'à mettre ces points dans le plan cartésien et à tracer la fonction.

 

Cette technique est facile, mais longue. En effet, pour tracer la courbe la plus précise possible, on doit trouver des points qui sont faciles à mettre dans un graphique.

Tracer une fonction exponentielle à l'aide des paramètres |a,b,h,k|

Afin de tracer la fonction exponentielle à l'aide de ses paramètres, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Tracer la fonction exponentielle de base (|y=c^x|).
2. Effectuer le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre |a| et la réflexion, si nécessaire.
3. Effectuer le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre |b| et la réflexion, si nécessaire.
4. Effectuer la translation verticale imposée par le paramètre |k|.
5. Effectuer la translation horizontale imposée par le paramètre |h|.

Il est à noter que les quatre dernières opérations peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre.

 
Tracer la fonction exponentielle suivante: |y=2(2)^{-3(x+4)}-3|.

1. On trace la fonction exponentielle de base, dans ce cas |y=2^x|.



2. On effectue le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre |a|.

Comme le paramètre |a| est égal à 2, il faut "étirer" verticalement la courbe d'un facteur 2. Concrètement, cela signifie qu'il faut multiplier par 2 les valeurs de |y| de la fonction de base.



3. On effectue la réflexion et le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre |b| (de facteur |\frac{1}{\mid b \mid}|).

Comme le paramètre |b| est égal à -3, il faut effectuer une réflexion de la courbe par rapport à l'axe des |y| et "comprimer" horizontalement la courbe d'un facteur |\frac{1}{3}|. Concrètement, cela revient à diviser par -3 les valeurs de |x| de la fonction de base.



4. On effectue la translation verticale imposée par le paramètre |k|.

Comme le paramètre |k| est égal à -3, on doit effectuer une translation verticale de trois unités vers le bas.



5. On effectue la translation horizontale imposée par le paramètre |h|.

Comme le paramètre |h| est égal à -4, (|x-(-4)|), on doit effectuer une translation horizontale de quatre unités vers la gauche.



On obtient ainsi la courbe recherchée.

On peut vérifier quelques caractéristiques de la courbe obtenue:

-On obtient une asymptote à |y = -3|, ce qui correspond à |y = k|.

-On obtient une courbe décroissante dont les valeurs de |y| sont supérieures à |k|, ce qui correspond à un |a| positif et un |b| négatif.

 
Pour s'assurer que le graphique tracé correspond bien à celui demandé, voici quelques points importants à vérifier :

|\bullet| La position de l'asymptote (avec le paramètre |k|).

|\bullet| Les réflexions par rapport aux deux axes (avec les paramètres |a| et |b|).

|\bullet| La croissance ou la décroissance de la fonction.

Les vidéos
 
Les exercices
Les références