Mathématique m1147

La réciproque de la fonction exponentielle

​​​​​​​Voici deux façons pour trouver la réciproque d'une fonction exponentielle:

Déterminer graphiquement la réciproque d'une fonction exponentielle

Afin de déterminer graphiquement la réciproque d'une fonction exponentielle, on peut procéder de la manière suivante:

1. Tracer la fonction exponentielle dont on souhaite tracer la réciproque.

2. Tracer la droite y = x.

3. Effectuer une réflexion de la fonction exponentielle de départ par rapport à la droite
y = x.


Tracer la réciproque de la fonction exponentielle |y = -1,5(2)^{-(x-2)}+ 4|

1. On trace la fonction exponentielle dont on souhaite tracer la réciproque.


2. On trace la droite y = x.


3. On effectue une réflexion de la fonction exponentielle par rapport à la droite y = x.


On obtient ainsi la réciproque de la fonction de départ.

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​Par ailleurs, on peut se servir de la définition de la réciproque pour la tracer. En d'autres mots, on peut trouver les coordonnées de quelques points pour ensuite les transformer de la façon suivante: | (\color{blue}{x}, \color{red}{y}) \rightarrow (\color{red}{y}, \color{blue}{x})|.​
m1147i11.PNG
Dans ce graphique, on voit que les points A et A' ont les mêmes coordonnées, mais elles ont été inversées. De plus, il en va de même pour B et B', C et C' puis D et D'.​
Ainsi, |\color{blue}{g(x) = - log_2 -\frac{2}{3}(x-4) + 2}| est la réciproque de |\color{red}{f(x) = - \frac{3}{2} (2)^{-(x-2)} + 4}|.​

Déterminer algébriquement la réciproque d'une fonction exponentielle

Il est à noter que les réciproques des fonctions exponentielles sont des fonctions logarithmiques.

Afin de déterminer algébriquement la réciproque d'une fonction exponentielle, on procède de la manière suivante :

1. Dans la règle de la fonction exponentielle, intervertir les variables x et y.

2. Isoler la variable y.

3. Tenir compte des restrictions : l'intérieur du logarithme doit être plus grand que 0.


L'exemple suivant montre comment trouver la réciproque d'une fonction sous la forme |f(x) = ac^{bx}|.

Déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction exponentielle |y = 2(3)^{3x}|.

1. On intervertit les variables |x| et |y|.
|x = 2(3)^{3y}|

2. On isole la variable |y|.
|\frac{x}{2} = 3^{3y}|

On prend le logarithme en base 3 des deux côtés:

|log_3 \frac{x}{2} = log_3 3^{3y}|

|\Rightarrow log_3 \frac{x}{2} = 3y \cdot log_3 3|

|\Rightarrow log_3 \frac{x}{2} = 3y|

|\Rightarrow \frac{1}{3} \cdot log_3 \frac{x}{2} = y|

3. On tient compte des restrictions : l'intérieur du logarithme doit être plus grand que 0.

|\frac{x}{2} > 0|

|\Rightarrow x > 0 \cdot 2|

|\Rightarrow x > 0|

Ici, on peut constater que la valeur de |x| doit être supérieure à 0 pour que l'intérieur du logarithme soit plus grand que 0. Il est à noter que cette valeur correspond à l'asymptote de la fonction logarithmique.



L'exemple suivant montre comment trouver la réciproque d'une fonction sous la forme |f(x) = a(c)^{b(x-h)} + k|

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Déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction exponentielle |y = -2(4)^{-2(x+4)} - 7|.

1. On intervertit les variables |x| et |y|.
|x = -2(4)^{-2(y+4)} - 7|

2. On isole la variable |y|.
|x = -2(4)^{-2(y+4)} - 7|

|\Rightarrow x + 7 = -2(4)^{-2(y+4)}|

|\Rightarrow - \frac{x+7}{2} =  4^{-2(y+4)}|
 
On prend le logarithme en base 4 des deux côtés:

|log_4 - \frac{x+7}{2} = log_4 4^{-2(y+4)}|

|\Rightarrow log_4 - \frac{x+7}{2} = -2(y+4) \cdot log_4 4|

|\Rightarrow log_4 - \frac{x+7}{2} = -2(y+4) \cdot 1 |

|\Rightarrow - \frac{1}{2} log_4 - \frac{x+7}{2} = y + 4|

|\Rightarrow - \frac{1}{2} log_4 - \frac{x+7}{2} - 4 = y|

|\Rightarrow - \frac{1}{2} log_4 - \frac{1}{2} (x+7) - 4= y|

3.On tient compte des restrictions : l'intérieur du logarithme doit être plus grand que 0.
|- \frac{1}{2} (x+7) > 0 |

|\Rightarrow x+7 > 0 \div - \frac{1}{2}|​​​

|\Rightarrow x < 0 - 7|

|\Rightarrow x < -7 |

Ici, on peut constater que la valeur de |x|​ doit être inférieure à -7 pour que l'intérieur du logarithme soit plus grand que 0. Il est à noter que cette valeur correspond à l'asymptote de la fonction logarithmique.


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