Mathématique m1148

La résolution de problèmes avec la fonction exponentielle

Lorsqu'on traduit une situation avec une fonction exponentielle, l'utilisation de la forme suivante sera généralement celle utilisée: |y=a(c)^{bx}|. 

Dans cette équation :
|\bullet| Le paramètre |a| représente la valeur initiale de la fonction.
|\bullet| La base |c| représente la base de la fonction, c'est-à-dire le facteur multiplicatif présent dans la fonction.
|\bullet| Le paramètre |b| représente le nombre de fois pour lequel le facteur multiplicatif est appliqué dans un intervalle de temps donné. 

Toutefois, il peut arriver que l'équation recherchée soit de la forme |y=a(c)^{b(x-h)}+k|.  Généralement, ce sera mentionné dans la question.

1. Identifier les variables.
2. Rechercher la valeur des paramètres |a|, |b| et de la base |c|.
3. Répondre à la question demandée. 

Pour résoudre un problème impliquant la fonction exponentielle, il faut d'abord connaitre les méthodes de résolution de telles équations hors contexte. En guise de rappel, la fiche Résoudre une équation ou une inéquation exponentielle est un bon outil de référence.

La demi-vie d'un élément

Au début d'une expérience, un chercheur possédait 50 g d'un élément radioactif. Cet élément se désintègre et sa masse diminue de moitié trois fois par heure. On souhaite représenter cette situation par une équation exponentielle.

1. Identifier les variables.

|x| : le temps écoulé (en heures) depuis le début de l'expérience.
|y| : la masse restante (en grammes) de l'élément radioactif.

2. Rechercher la valeur des paramètres |a|, |b| et de la base |c|.

La valeur du paramètre |a| sera égale à 50 puisqu'au départ , le chercheur possédait 50 g de cette substance (valeur initiale).

La valeur de la base |c| de cette fonction sera égale à 1/2, puisque la masse de l'élément radioactif diminue de moitié toutes les heures.

La valeur du paramètre |b| est égale à 3 puisque la masse de l'élément en question diminue de moitié trois fois à chaque heure.

3. Répondre à la question demandée. 

Dans le cas présent, on cherchait l'équation de la fonction exponentielle associée à la situation. Ainsi, on obtient
||y=50\left(\frac{1}{2}\right)^{3x}||.

Culture de bactéries

À 8h ce matin, un échantillon de yogourt contenait 10 000 bactéries. À la température de la pièce, le nombre de bactéries présentes dans cet échantillon quadruple à chaque deux heures. Si on considère que le yogourt n'est plus comestible à partir du moment où il contient 640 000 bactéries et plus, après combien d'heures cela va-t-il se produire ?

1. Identifier les variables.

|x| : le temps (en heures) écoulé depuis 8h ce matin.
|y| : le nombre de bactéries présentes dans l'échantillon de yogourt.

2. Rechercher la valeur des paramètres |a|, |b| et de la base |c|.

La valeur du paramètre |a| sera égale à 10 000, puisque lorsque |x = 0| (à 8h ce matin), le nombre de bactéries était égal à 10 000.

La valeur de la base |c| sera égale à 4, puisque le facteur multiplicatif de cette fonction est égal à 4 (le nombre de bactéries quadruple).

La valeur du paramètre |b| sera égale à |\frac{1}{2}| puisque le nombre de bactéries quadruple aux 2 heures.

3. Répondre à la question demandée. 

Maintenant qu'on a trouvé l'équation de la fonction exponentielle associée à la situation (|y=10\ 000 (4)^{\small \dfrac{x}{2}}|), on peut l'utiliser pour résoudre le problème. 
||\begin{align}
y & = && 10 \ 000 (4)^{\small \dfrac{x}{2}} \\
640\ 000 &=&& 10\ 000 (4)^{\small \dfrac{x}{2}} && \text{remplace "y" par la valeur donnée}\\
64&=&&(4)^{\small \dfrac{x}{2}} && \text{isole la partie exponentielle}\\
4^3&=&&(4)^{\small \dfrac{x}{2}}&& \text{utilisation de la même base de chaque côté}\end{align}||
Comme les bases sont les mêmes de chaque côté de l'égalité, les exposants sont nécessairement égaux. On peut donc résoudre l'équation.
||\begin{align}3&=\dfrac{x}{2}\\6&=x\end{align}||
Ainsi, après 6 heures, le yogourt est impropre à la consommation.

Les placements ou les emprunts avec intérêts

Il existe un cas particulier de fonction exponentielle à analyser : celui des placements ou des emprunts avec intérêts. Tu peux d'ailleurs consulter la fiche sur les mathématiques financières si tu as besoin d'informations sur les concepts de prêts, de capitalisation, d'actualisation, etc. 

Les paramètres |a|, |b| et la base |c| ont toujours la même signification. Cependant, dans le cas où on a une augmentation ou une diminution du capital de départ en pourcentage et/ou dans les cas où les intérêts sont calculés plus d'une fois par année, la traduction de la situation en équation peut être plus ardue.

|a| représente toujours la valeur initiale.

|b| représente le nombre de fois par période donnée pour lequel les intérêts sont calculés (ceci est exactement le même rôle que celui joué par le paramètre |b| précédemment).

Le paramètre |c| peut être développée de façon à mettre en évidence le taux d'intérêts.  On peut représenter la base |c| par l'équation suivante.

|c=1\pm\frac{i}{b}|
 
où |i| représente le taux d'intérêt (en forme décimale).

On utilise le positif s'il y a un gain et le négatif pour une perte.

Ceci signifie que si les intérêts sont composés annuellement, le facteur multiplicatif est égal à 1 plus le taux d'intérêt (en forme décimale), ce qui est logique. Si les intérêts sont composés à une autre fréquence, on divise le taux d'intérêt par le paramètre b.

Le placement

Après avoir obtenu un emploi d'étudiant et avoir travaillé tout l'été, Alexandre a réussi à économiser 4 000$. Il place cet argent au taux égal à 3% d'intérêt par année. Les intérêts de ce placement sont composés mensuellement. Après combien de temps son placement atteindra-t-il une valeur de 6 000 $ ?

1) Identification des variables :

|x| : le temps écoulé (en années) depuis qu'Alexandre a placé ses économies
|y| : la valeur de ses économies (après y avoir ajouté les intérêts).

2) Recherche des paramètres :

Le paramètre |a|sera égal à 4 000.

Le paramètre |b| sera égal à 12, puisque les intérêts sont composés mensuellement , c'est-à-dire 12 fois par année.

La base |c| sera égale à |1 + \frac{i}{b}|, où |i| sera égal à 0,03 (3% en forme décimale) puisque c'est le taux d'intérêt. Donc, |c = 1 + \frac{0,03}{12}|.

3)
On écrit l'équation :
||\begin{align}y &= 4\ 000(1 + 0,03/12)^{12x}\\y &= 4\ 000(1,0025)^{12x}\end{align}||
4) On remplace |\color{blue}{y}| par |\color{blue}{6\ 000}|.
|| \color{blue}{6\ 000}= 4\ 000(1,0025)^{12x}||
5) On isole la partie contenant l'exposant.
||\begin{align}\frac{6\ 000}{4\ 000} &= \frac{4\ 000(1,0025)^{12x}}{4\ 000}\\1,5&=1,0025^{12x}\end{align}||
6) On passe à la forme logarithmique.
||1,5 = 1,0025^{12x} \ \Longleftrightarrow \ \log_{1,0025}1,5=12x||
7) On isole |x| et on calcule la valeur du logarithme à l'aide de : |\log_cM=\frac{\log M}{\log c}|.
||\begin{align}\log_{1,0025}1,5&=12x\\ \frac{\log_{1,0025}1,5}{12}&=x\\ \frac{\log 1,5}{\log 1,0025} \div 12 &= x\\ 162,39 \div 12 &\approx x\\13,53 &\approx x\end{align}||
Réponse : Le placement d'Alexandre aura atteint une valeur de 6 000$ après environ 13 ans et demi. 

La voiture usagée

Maxime s'est acheté une superbe voiture électrique neuve d'une valeur de |45\ 000| $. Les spécialistes des assurances automobiles estiment qu'une voiture électrique perd en moyenne 20% de sa valeur actuelle année après année. Sachant cela, quelle sera la valeur de la voiture de Maxime dans 8 ans?

1. Identifier les variables. 

|x| : le temps écoulé (en années) depuis que Maxime a acheté sa voiture
|y| : la valeur de la voiture ($)

2. Rechercher la valeur des paramètres |a|, |b| et de la base |c|.

La valeur du paramètre |a| sera égale à |45\ 000|.

La valeur du paramètre |b| sera égale à 1, puisque la valeur de la voiture est calculée une fois par année.

La valeur de la base |c| sera égale à |80 \text{%} = 0,80| puisque chaque année, la valeur de la voiture (100%) diminue de 20%. Ainsi, 100% - 20% = 80%. 

3.
Répondre à la question demandée.
||\begin{align}y &= a(c)^{bx}\\
y &= 45\ 000(0,80)^{1x}\\
&= 45\ 000(0,80)^{8} && \text{remplace "x" par 8}\\ 
&\approx 7\ 549,75\ $ \end{align}||
Après 8 ans, la valeur de la voiture électrique de Maxime sera approximativement de 7 549,75 $.


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Les exercices
Les références