Mathématique m1150

Résoudre une équation ou une inéquation logarithmique à une variable

Résoudre une équation logarithmique à une variable

Une équation dans laquelle la variable apparaît uniquement dans une expression logarithmique est appelée à une équation logarithmique.

Afin de résoudre une équation logarithmique, il faut être à l'aise avec les diverses propriétés des logarithmes. De plus, il sera très important de toujours indiquer les restrictions relatives aux arguments des divers logarithmes apparaissant dans une équation logarithmique.

Voici une équivalence très utile: |\log_c (a) = \log_c (b) \Leftrightarrow a=b|.

 

Soit l'équation |\log_2(x+2)=4|.

Comme le logarithme est déjà isolé, il ne suffit que d'écrire la restriction et de passer ensuite à la forme exponentielle.

L'intérieur du logarithme doit être strictement supérieur à 0, c'est-à-dire que |x+2 > 0 \Rightarrow x > -2|.

La forme exponentielle est |2^4 = x+2|.

Il ne reste qu'à résoudre l'équation précédente.

|2^4 = x+2 \rightarrow 16 = x + 2 \Rightarrow x = 14|

Ainsi, l'ensemble-solution de l'équation est |\lbrace 14 \rbrace|.

 

Soit l'équation |\log_4 (x^2+14x) = 1|.

Le logarithme étant déjà isolé, il faut maintenant poser les restrictions.
|x^2 + 14x > 0 \Leftrightarrow x < -14 \text{ et } x > 0|

On peut maintenant passer à la forme exponentielle.
|\log_4 (x^2+14x) = 1 \Leftrightarrow 4^1 = x^2+14x|

On résout maintenant cette équation du second degré.
|4^1 = x^2 + 14x \rightarrow 4 = x^2 + 14x \rightarrow 0 = x^2 + 14x - 4|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-14\pm \sqrt{212}}{2}|
|x_1 = \displaystyle \frac{-14+\sqrt{212}}{2} \approx 0,28|
|x_2 = \displaystyle \frac{-14 - \sqrt{212}}{2} \approx -14,28|

Les deux valeurs respectent les restrictions.

L'ensemble-solution de l'équation est donc |\lbrace -14,28; 0,28 \rbrace|.

 

Soit l'équation |\log_6 (x-1) + \log_6 (x) =1|.

Il faut trouver les restrictions de chacun des logarithmes.
|x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1| et |x > 0|

Il faut manipuler l'expression.
Comme les deux logarithmes qui s'additionnent ont la même base, on peut utiliser la loi suivante : |\log_c (a) + \log_c (b) = \log_c(a \cdot b)|.
| \log_6 (x-1) + \log_6 (x) = \log_6 ( (x-1) \cdot x) = \log_6 (x^2-x)= 1|

On passe à la forme exponentielle.
|\log_6 (x^2-x) = 1 \Leftrightarrow 6^1 = x^2-x|

On résout maintenant cette équation du second degré.
|6^1 = x^2 - x \rightarrow 6 = x^2 - x \rightarrow 0 = x^2-x-6|
|0 = x^2 - x - 6 \rightarrow 0 = (x-3)(x+2)|

Les deux zéros sont |3| et |-2|.

On doit rejeter la valeur |-2| puisqu'elle ne respecte pas les restrictions des deux logarithmes.

Ainsi, l'ensemble-solution de l'équation est |\lbrace 3 \rbrace|.

 

Soit l'équation |\log (x-3) = \log (6x)|.

On pose les restrictions des deux logarithmes.
|x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3| et |6x > 0 \Leftrightarrow x > 0|

On amène les deux logarithmes du même côté de l'égalité.
|\log (x-3) - \log (6x)=0|

On utilise maintenant la loi suivante: |\log_c (a) - \log_c (b) = \log_c (\frac{a}{b} )|.
|\displaystyle \log (x-3) - \log (6x) = 0 \rightarrow \log \left( \frac{x-3}{6x} \right) = 0|

On passe à la forme exponentielle.
|\displaystyle \log \left( \frac{x-3}{6x} \right) = 0 \Leftrightarrow 10^0 = \frac{x-3}{6x}|

On résout l'équation précédente.
|\displaystyle 10^0 = \frac{x-3}{6x} \rightarrow 1 = \frac{x-3}{6x}|
On effectue un produit croisé.
|6x = x-3|
|x = - \frac{3}{5}|

Cette valeur ne satisfait pas les restrictions.

L'ensemble-solution est donc vide, |\lbrace \,\,\, \rbrace|, ou |\emptyset|.

 

Soit l'équation |2\log_4 (x) - \log_4 (x+4) = \log_4 (x-2)|.

On pose les restrictions des trois logarithmes.
|x > 0|, |x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > -4| et |x-2 > 0 \Leftrightarrow x > 2|

On applique la loi: |n \log_c (a) = \log_c (a^n)|, au premier logarithme.
|2 \log_4 (x) = \log_4 (x^2)|

On applique la loi: |\log_c (a) - \log_c (b) = \log_c ( \frac{a}{b})| aux deux premiers logarithmes.
|\displaystyle \log_4 (x^2) - \log_4 (x+4) = \log_4 \left( \frac{x^2}{x+4} \right)|

On a donc l'équation:
|\displaystyle \log_4 \left( \frac{x^2}{x+4} \right)= \log_4 (x-2)|

Comme les deux logarithmes de chaque côté ont la même base, on peut égaler les arguments.
|\displaystyle \frac{x^2}{x+4} = x-2|

On effectue un produit croisé.
|x^2 = (x-2)(x+4) \rightarrow x^2 = x^2 +2x -8|

On résout l'équation.
|x^2 = x^2 + 2x - 8 \rightarrow 0 = 2x - 8 \rightarrow x= 4|

Cette valeur respecte toutes les restrictions.

L'ensemble-solution de l'équation est |\lbrace 4 \rbrace|.

 

Soit l'équation |2^{\log_2 5} + 5^{\log_5 3x} = 6^{\log_6 8}|.

Au départ, cette équation peu faire peur, mais si on utilise la définition du logarithme elle se résout aisément.
Si on cherche |\log_c m|, alors «c'est l'exposant que l'on doit attribuer à la base |c| afin d'obtenir la puissance |m|». La réponse est |m| et ainsi |c^{\log_c m} = m|.

Ainsi, l'équation |2^{\log_5 5} + 5^{\log_5 3x} = 6^{\log_6 8}| devient |5 + 3x = 8|.

En résolvant cette dernière égalité, on obtient |x=1|.

 

Résoudre une inéquation logarithmique à une variable

Une inéquation dans laquelle la variable apparaît uniquement dans une expression logarithmique est appelée à une inéquation logarithmique.

La résolution d'une inéquation logarithmique est très similaire à la résolution d'une équation logarithmique. Le seul point différent qu'il importe de mentionner est la nécessité de tracer un graphique.

Soit l'inéquation |\log_2 (x-2) \geq 4|.

On trouve tout d'abord la restriction du logarithme.
|x-2 > 0 \Rightarrow x > 2|

On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.
|\log_2 (x-2) = 4|

On résout maintenant cette équation logarithmique.

On peut passer à la forme exponentielle.
|\log_2 (x-2) = 4 \Leftrightarrow 2^4 = x-2|

On résout cette équation.
|2^4 = x-2 \rightarrow 16 = x-2 \Rightarrow x = 18|

Cette solution respecte la restriction.

On trace maintenant le graphique.

En regardant le graphique, on peut conclure que l'ensemble-solution de l'inéquation est l'intervalle |[18, + \infty[|.

 

Soit l'inéquation |- \log_3 (2x-1) + 5 < 2|.

On trouve tout d'abord la restriction du logarithme.
|2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}|

On change maintenant le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.
|- \log_3 (2x-1) + 5 = 2|

On isole le logarithme.
|- \log_3 (2x-1) + 5 = 2 \rightarrow \log_3 (2x+1) = 3|

On passe à la forme exponentielle.
|\log_3 (2x-1) = 3 \Leftrightarrow 3^3 = 2x-1|

On résout l'équation.
|3^3 = 2x-1 \rightarrow 27 = 2x-1 \Rightarrow x = 14|

Cette valeur respecte la restriction.

On trace maintenant le graphique.

En regardant le graphique, on peut conclure que l'ensemble-solution de l'inéquation est l'intervalle |]14, + \infty[|.

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