Mathématique m1151

La fonction logarithmique

Voici une forme de l'équation d'une fonction logarithmique : ||f(x)=a\log_{c}(bx)||
où |a|et |b| sont des nombre réels jouant le rôle de paramètre, ils ne sont jamais nuls.

La fonction logarithmique de base a pour équation |f(x)=\log_c x|.

Remarques:
La valeur de  |c| (la base) doit être supérieure à 0 et différente de 1.
L'argument du logarithme doit toujours être plus grand que 0.

Cette fiche traite de la fonction logarithmique sous la forme |f(x)=a \log_c (bx)| et du rôle de ses paramètres.

Pour en savoir plus, vous pouvez consulter les fiches suivantes:

La fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. Ainsi, il est normal qu'au contraire de la fonction exponentielle qui possède une asymptote horizontale, la fonction logarithmique possède une asymptote verticale.

Dans la fonction logarithmique sous la forme |f(x)=a \log_c (bx)|, l'équation de l'asymptote est |x=0|.

Analyse des paramètres dans la fonction logarithmique sous la forme |f(x)=a \log_c (bx)|

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| impose un changement d'échelle verticale à la fonction.

|\bullet| Cela signifie qu'un changement du paramètre |a| étire verticalement la représentation graphique de la fonction de base. Lorsque |a>0|, le graphique s'étire verticalement. Si |0<a<1|, le graphique se contracte verticalement.

 

Le paramètre |a| est aussi responsable de l'orientation du graphique.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, cela implique une réflexion de la fonction de base par rapport à l'axe des abscisses.

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| impose un changement d'échelle horizontale.

|\bullet| Cela signifie qu'un changement du paramètre |b| étire horizontalement la représentation graphique de la fonction de base par un facteur |\frac{1}{b}|. Si |b>1|,  le graphique se contracte horizontalement. Si |0<b<1|, le graphique s'étire horizontalement.

 

Le paramètre |b| est aussi responsable de l'orientation verticale du graphique.

|\bullet| Un paramètre |b| négatif implique une réflexion de la fonction de base par rapport à l'axe des ordonnées.

Analyse de la base |c|

La valeur de |c| représente la base de la fonction, c'est-à-dire le facteur multiplicatif présent dans la fonction exponentielle.

|\bullet| Lorsque le paramètre |c| est supérieur à 1  (|c>1|), la fonction de base est croissante.

|\bullet| Lorsque la valeur du paramètre |c| est entre 0 et 1 (|0<c<1|), la fonction de base est décroissante.

Il est utile de remarquer que |\log_c x = -\log_{\frac{1}{c}} x|.

En utilisant cette propriété, il est possible de transformer un logarithme ayant une base entre 0 et 1 en un logarithme ayant une base supérieure à 1.
Si on considère la fonction |f(x)=-\log_{\frac{1}{2}}x|, grâce à la propriété précédente, elle est équivalente à la fonction dont l'équation est |f(x)=\log_2 x|.

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