Mathématique m1152

L'analyse des paramètres dans une fonction logarithmique sous la forme canonique

Lorsqu’on ajoute les paramètres |a|, |b|, |h|, |k| à la forme de base |f(x)= \log_c x |, on obtient ce que l'on appelle la forme canonique (aussi appelée forme transformée) de la fonction logarithmique.
La fonction logarithmique transformée s'écrit habituellement de la façon suivante: ||f(x)=a \log_c (b(x-h)) +k|| où |a,b,h,| et |k| sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre. Notons que |a| et |b| sont non nuls.

Remarque : La base de la fonction (|c|) doit être supérieure à 0 et différente de 1.

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| impose un changement d'échelle verticale à la fonction.

|\bullet| Cela signifie qu'un changement du paramètre |a| étire verticalement la représentation graphique de la fonction de base. Lorsque |a >0|, le graphique s'étire verticalement. Si |0< a <1|, le graphique se contracte verticalement.

 

Le paramètre |a| est aussi responsable de l'orientation du graphique.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, cela implique une réflexion de la fonction de base par rapport à l'axe des abscisses.

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| impose un changement d'échelle horizontale.

|\bullet| Cela signifie qu'un changement du paramètre |b| étire horizontalement la représentation graphique de la fonction de base par un facteur |\frac{1}{b}|. Si |b > 1|, le graphique se contracte horizontalement. Si |0 < b <1|, le graphique s'étire horizontalement.

 

Le paramètre |b| est aussi responsable de l'orientation verticale du graphique.

|\bullet| Un paramètre |b| négatif implique une réflexion de la fonction de base par rapport à l'axe des ordonnées.

Analyse de la base |c|

La valeur de |c| représente la base de la fonction, c'est-à-dire le facteur multiplicatif présent dans la fonction exponentielle.

|\bullet| Lorsque le paramètre |c| est supérieur à 1 (|c>1|), la fonction de base est croissante.

|\bullet| Lorsque la valeur du paramètre |c| est entre 0 et 1 (|0<c<1|), la fonction de base est décroissante.

Il est utile de remarquer que |\log_c x = -\log_{\frac{1}{c}} x|.
En utilisant cette propriété, il est possible de transformer un logarithme ayant une base entre 0 et 1 en un logarithme ayant une base supérieure à 1.

Si on considère la fonction |f(x)=-\log_{\frac{1}{2}}x|, grâce à la propriété précédente elle est équivalente à la fonction dont l'équation est |f(x)=\log_2 x|.

Analyse du paramètre |h|

Le paramètre |h| impose une translation horizontale de |h| unités à la fonction.

|\bullet| Si le paramètre |h| est positif, la fonction est déplacée vers la droite. Si, au contraire, le paramètre |h| est négatif, la fonction est déplacée vers la gauche.

|\bullet| L'asymptote de la fonction logarithmique a pour équation |x = h|. Par conséquent, si la valeur du paramètre |h| est modifiée, l'emplacement de l'asymptote est également modifié.

Analyse du paramètre |k|

Le paramètre |k| impose une translation verticale de |k| unités à la fonction.

|\bullet| Si le paramètre |k| est positif, la fonction est déplacée vers le haut. Si, au contraire, le paramètre |k| est négatif, la fonction est déplacée vers le bas.

Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique

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