Mathématique m1153

La recherche de la règle de la fonction logarithmique

​Voici comment trouver la règle d'une fonction logarithmique selon deux formes:

Recherche de la règle pour une fonction logarithmique sous la forme |y=a \log_c (bx)|

Pour retrouver la règle d'une fonction logarithmique sous la forme |y=a \log_c (bx)| il faut au minimum connaître l'une des valeurs parmi celles de |a|, |b| et |c|.

 Voici 3 exemples :

Cas : |a| est connu

Trouvez l'équation d'une fonction logarithmique dont le |a| vaut 2, passant par les points (2,5.16993) et (4,7.16993).

On a donc une équation |y= 2 \log_c (bx)|.

On remplace |x| et |y| par les coordonnées dans l'équation.

On obtient alors |5.16993 = 2 \log_c (b \cdot 2)| et |7.16993 = 2 \log_c (b \cdot 4)|.

Il faut maintenant isoler |b| dans les deux équations.
Pour la première équation :
|2.584965 = \log_c (2b)|
|c^{2.584965} = 2b|
|\displaystyle \frac{c^{2.584965}}{2}=b|
Pour la seconde équation :
|3.584965= \log_c (4b)|
|c^{3.584965} = 4b|
|\displaystyle \frac{c^{3.584965}}{4}=b|

On peut maintenant utiliser la méthode de comparaison.
|\displaystyle \frac{c^{2.584965}}{2}=\frac{c^{3.584965}}{4}|

On travaille un peu sur la proportion :
|\displaystyle 2c^{3.584965} = 4c^{2.584965}|
|\displaystyle c^{1} = 2|

On a donc comme base |c=2|.

Il ne reste qu'à remplacer dans l'une des équations de départ pour trouver le |b|.
|5.16993=2 \log_2 (2b)|
|2^{2.584965} = 2b|
|3=b|

L'équation de la fonction est donc |y= 2 \log_2 (3x)|.

 

Cas : |b| est connu et |c| est connu

Trouvez l'équation de la fonction logarithmique dont le |b| vaut 2, dont le |c| vaut 10 et qui passe par le point (5,-3).

On remplace |x| et |y| dans l'équation.

|-3 = a \log (2 \cdot 5)|

|-3 = a|

Donc l'équation est |y=-3 \log (2x)|.

 

Cas : |c| est connu et |a| est connu

Trouvez l'équation de la fonction logarithmique dont le |c| vaut 2, dont le |a| vaut -4 et qui passe par le point (-12,8).

On remplace |x| et |y| dans l'équation.

|8 = -4 \log_2 (b \cdot -12)|

On isole l'expression contenant le logarithme.

|-2 = \log_2 (-12b)|

On passe à la forme exponentielle afin d'isoler le |b|.

|2^{-2} = -12b|

|-1 \cdot 2^{-2} = b|

|\displaystyle -\frac{1}{48}=b|

Donc l'équation est |y= -4 \log_2 \left( \displaystyle -\frac{1x}{48} \right)|.

 

Lorsque l'on connaît une seule valeur, il faut connaître 2 couples. On utilise ensuite la méthode de comparaison.

Recherche de la règle d'une fonction logarithmique sous la forme canonique

Il y a deux façons d'exprimer la règle d'une fonction logarithmique en réduisant le nombre de paramètres:
|\bullet| Il y a la forme |y=\log_c (\pm(x-h))+k|.
|\bullet| Il y a la forme |y= \log_c (b(x-h))|.

Remarques :
1. Ces deux formes sont équivalentes à la forme canonique |y=a \log_c (b(x-h))+k|. Toutefois, les paramètres |c| et |b| ne sont pas identiques à ceux de la forme canonique habituelle.
2. On obtient ces deux formes en effectuant des manipulations algébriques.

Cas où |y=\log_c (\pm(x-h))+k|

Comme la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle, elle possède également un facteur multiplicatif égal à la base.

Lorsque l'on travaille avec une fonction logarithmique, il y a un facteur multiplicatif entre les variations de la variable indépendante, lorsque la variable dépendante augmente de 1. Ce facteur multiplicatif correspond à la base de la fonction.

 

Si le facteur multiplicatif est négatif, on doit prendre le signe contraire. En effet, la base d'un logarithme ne peut pas être négative.

 

Voici la table de valeurs de la fonction |y=\log_9 x| ainsi que les différentes variations.

On remarque que le facteur multiplicatif est de 9, ce qui correspond à la base de la fonction.

Voici les étapes à suivre afin de trouver la règle d'une fonction logarithmique sous la forme |y= \log_c (\pm(x-h))+k| :

1. On détermine la valeur de la base |c| en trouvant le facteur multiplicatif.

2. Selon la valeur de la base |c|, on détermine si on utilise le + ou le - dans la parenthèse. Il faut regarder si la fonction est croissante ou décroissante.

3. On remplace |x| et |y| dans l'équation de la fonction par 2 couples.

4. On isole le paramètre |k| dans les deux équations bâties précédemment.

5. On utilise la méthode de comparaison afin de trouver la valeur du paramètre |h|.

6. On remplace |h| dans l'une ou l'autre des deux équations puis on calcule le paramètre |k|.

 

Voici la table de valeurs d'une fonction logarithmique :


1. On détermine la valeur de la base |c| en trouvant le facteur multiplicatif.
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La base est donc |c=3|.

2. Plus les valeurs de |x| augmentent, plus celles de |y| diminuent ainsi la fonction est décroissante. Comme la base est supérieure à 1, on doit utiliser le signe - dans la parenthèse.

3. On peut prendre les couples (0,2) et (-8,4). On les insère dans notre équation.
|2= \log_3 (-(0-h))+k| on obtient |2 = \log_3 (h) +k|.
|4 = \log_3 (-(-8-h))+k| on obtient |4 = \log_3 (8+h) +k|.

4. On isole le paramètre |k| dans les deux équations.
On obtient alors |2- \log_3 (h) = k| et |4-\log_3 (8+h) = k|.

5. On utilise la méthode de comparaison et on résout.

|2-\log_{3}{(h)}=4-\log_{3}{(8+h)}|
|2-4=-log_{3}{(8+h)}+log_{3}{(h)}|

On réarrange les logarithmes :
|-2=log_{3}{(h)}-log_{3}{(8+h)}|

On applique une loi des logarithmes :
|-2=log_{3}{\frac{h}{8+h}}|

On passe à la forme exponentielle :
|3^{-2}=\frac{h}{8+h}|

On élimine l'exposant négatif :
|\frac{1}{3^{2}}=\frac{h}{8+h}|

On fait un produit croisé :
|8+h=9h|

On isole |h| :
|h=1|

6. On remplace |h| par sa valeur dans l'une ou l'autre des deux équations puis on isole |k|.
|4 = \log_3 (-(-8-1)) + k|
|4 = \log_3 (9) + k |
|4 = 2 + k \text{ le } \log_3 (9) \text{ vaut } 2 |
|2=k|

On peut donc conclure que l'équation de notre fonction logarithmique est ||y= \log_3 (-(x-1))+1.||

Cas où |y= \log_c (b(x-h))|

Pour utiliser cette méthode, il est préférable de connaître la valeur de l'asymptote, c'est-à-dire la valeur du paramètre |h|. Il faut aussi connaître la valeur de l'abscisse à l'origine.

1. En connaissant la valeur de |h| et l'abscisse à l'origine, on peut trouver la valeur de |b|. En effet, la valeur de l'abscisse à l'origine est égale à |\displaystyle \frac{1}{b} +h|.

2. Remplacer les coordonnées |(x,y)| dans l'équation.

3. Déterminer la valeur du paramètre |c|.

 

Déterminez l'équation de la fonction logarithmique ayant les caractéristiques suivantes:

a) L'équation de l'asymptote est |x=-1|;

b) Son abscisse à l'origine est |\displaystyle -\frac{1}{2}|;

c) Elle passe par le point (4,1).

1. On peut trouver la valeur de |b| avec |h| et l'abscisse à l'origine.

|\displaystyle \frac{1}{b} -1 = -\frac{1}{2}|
|\displaystyle \frac{1}{b} = \frac{1}{2}|
|b=2|

2. On remplace dans l'équation |x| et |y| par les coordonnées d'un couple.
|1 = \log_c (2(4+1))|

3. On isole le paramètre |c|. Pour y arriver, on passe à la forme exponentielle.
|c^1 = 2(4+1)|
|c^1 = 10|
Donc, |c=10|.

L'équation de la fonction est |y= \log_{10} (2(x+1))|.

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