Mathématique m1154

Tracer une fonction logarithmique dans un graphique

Voici deux méthodes pour tracer une fonction logarithmique :

La règle de la fonction logarithmique à tracer se présentera habituellement sous sa forme canonique (transformée): ||f(x)=a \log_c (b(x-h)) +k.||

Tracer une fonction logarithmique à l'aide de sa règle et d'une table de valeurs

Afin de tracer la fonction logarithmique à l'aide de sa règle et d'une table de valeurs, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Dans la règle de la fonction logarithmique, on peut remplacer |x| par quelques valeurs (par exemple, -10, -5, -1, 0, 1, 5, 10) ;

2. Noter ces valeurs de |x| et les |y| correspondants dans une table de valeurs;

3. Mettre les points ainsi obtenus |(x,y)| dans un plan cartésien;

4. Tracer la courbe obtenue.

Si la base du logarithme n'est pas égale à |e| ou à 10, il est nécessaire d'effectuer un changement de base afin d'obtenir la valeur de |y| à l'aide de la valeurs de |x| et d'une calculatrice.

On peut par la suite vérifier si la courbe tracée est correcte en vérifiant les points suivants:

-À |x = h|, on peut observer une asymptote (droite verticale dans ce cas-ci);

-Pour |c>1|, si |a| et |b| sont tous les deux positifs, la fonction est croissante et les valeurs de |x| de la fonction sont supérieures à |h|;

-Pour |c>1|, si |a| et |b| sont tous les deux négatifs, la fonction est croissante et les valeurs de |x| de la fonction sont inférieures à |h|;

-Pour |c>1|, si |a| est positif et |b| est négatif, la fonction est décroissante et les valeurs de |x| de la fonction sont inférieures à |h|;

-Pour |c>1|, si |a| est négatif et |b| est positif, la fonction est décroissante et les valeurs de |x| de la fonction sont supérieures à |h|.


Tracez la fonction logarithmique suivante: ||y=-\log_2 (x+3)-4.||Dans ce cas, on devra effectuer un changement de base, qui donne une fonction équivalente à la fonction à tracer:

|y=\displaystyle -\frac{\log(x+3)}{\log2}-4|

1. On remplace |x| par quelques points pour obtenir les valeurs de |y| correspondantes.

Pour |x = -10|:

|y=\displaystyle -\frac{\log(-10+3)}{\log2}-4|
|y=\displaystyle -\frac{\log(-7)}{\log2}-4|

Aucun résultat, puisque le logarithme d'un argument négatif n'existe pas.

Pour |x = -1|:
|y=\displaystyle -\frac{\log(-1+3)}{\log2}-4|
|y=\displaystyle -\frac{\log(2)}{\log2}-4|
|y = -5|

Pour |x = 1|:
|y=\displaystyle -\frac{\log(1+3)}{\log2}-4|
|y=\displaystyle -\frac{\log(4)}{\log2}-4|
|y = -6|

Avec cette technique, on peut ainsi trouver plusieurs couples :

|(x,y): (-1,-5); (-2,4); (0,-5,5850); (1,-6); (5,-7); (10,-7,7004)|

2. Placer les points obtenus dans un plan cartésien et leur ajoutant un point très près de l'asymptote |(x = -3)| et tracer la courbe.


Tracer une fonction logarithmique à l'aide de la fonction de base et des paramètres

Afin de tracer la fonction logarithmique à l'aide de sa fonction de base et de ses paramètres, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Tracer la fonction logarithmique de base |y = \log_c x|.

2. Effectuer le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre |a|.

3. Effectuer le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre |b|.

4. Effectuer la translation verticale imposée par le paramètre |k|.

5. Effectuer la translation horizontale imposée par le paramètre |h|.

Il est à noter que ces quatre dernières opérations auraient pu être effectuées dans n'importe quel ordre.

Tracez la fonction logarithmique suivante: ||y=3 \log_4 (3(x-3))-4.||

1. On trace la fonction logarithmique de base, dans ce cas, |y= \log_4 x|.

Pour y arriver, on doit faire un changement de base :
|y=\displaystyle \frac{\log x}{\log4}|



2. On effectue le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre |a|.

Comme le paramètre |a| est égal à 3, il faut "étirer" verticalement la courbe d'un facteur 3. Concrètement, cela signifie qu'il faut multiplier par 3 les valeurs de |y|.


3. On effectue le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre |b|.

Comme le paramètre |b| est égal à 3, il faut "comprimer" horizontalement la courbe d'un facteur |\frac{1}{3}|, en divisant les valeurs de |x| par 3.


4. On effectue la translation verticale imposée par le paramètre |k|.

Comme le paramètre |k| est égal à -4, on doit effectuer une translation verticale de quatre unités vers le bas.


5. On effectue la translation horizontale imposée par le paramètre |h|.

Comme le paramètre |h| est égal à 3, on doit effectuer une translation horizontale de trois unités vers la droite.


On obtient ainsi la courbe recherchée.

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