Mathématique m1160

La recherche de la règle d'une fonction valeur absolue de la forme canonique

Voici les trois cas pour trouver la règle d'une fonction valeur absolue :

La recherche de la règle avec le sommet et un point donné

Pour trouver la règle d’une fonction valeur absolue lorsqu’on connaît les coordonnées du sommet et un point quelconque de la fonction, il suffit d’utiliser l’équation sous la forme canonique.

Les coordonnées du sommet sont (-3, -2) et les coordonnées d'un point sont (-4, -5).

La recherche de la règle avec deux points ayant la même ordonnée et un autre point

Pour trouver la règle d’une fonction valeur absolue lorsque l’on connaît deux points ayant la même ordonnée et un autre point quelconque de la fonction, il suffit de commencer par trouver la pente des branches de notre valeur absolue.

1) Les coordonnées des deux points sont les deux zéros : (-7,0) et (1,0) et les coordonnées de l'autre point sont (-9,-4). Il faut positionner ces coordonnées sur un graphique pour repérer lequel des deux zéros pourra nous aider à trouver le paramètre |a| (la pente des branches) de notre valeur absolue.


2) Nous pourrons calculer la pente des branches de la fonction valeur absolue en utilisant le zéro (-7,0) et le point (-9,-4).


3) En positionnant les différents points de la fonction valeur absolue ci-dessus, on remarque que l’ouverture est située vers le bas. C’est pourquoi, le paramètre |a| devra être négatif.

4) Puisque le graphique d’une fonction valeur absolue est symétrique, alors on peut trouver la coordonnée |x| du sommet. Les deux coordonnées en abscisse (|x|) des zéros sont -7 et 1, alors la coordonnée en |x| du sommet se trouvera exactement au milieu de ces deux zéros. La coordonnée en |x| du sommet correspond au paramètre |h| de l’équation.



5) Il est maintenant possible d’utiliser les coordonnées de l’autre zéro pour remplacer les valeurs de |x| et |y| dans l’équation ci-dessous. On trouvera alors le paramètre |k| qu’il nous manque.


6) Notre équation est maintenant complète.

La recherche de la règle avec trois points quelconques

Voici trois points qui sont sur une même fonction valeur absolue (1,2), (7,-6) et (-1,-2).
1) Pour trouver l'équation d'une fonction valeur absolue lorsque l'on connaît trois points quelconques, il faut tout d'abord positionner ces derniers dans un plan cartésien.

2) Avec le positionnement des trois points donnés, on voit que (-1,-2) et (1,2) seront sur la même branche. C'est donc avec eux que l'on doit travailler pour trouver le |a|. On calcule donc le taux de variation entre (-1,-2) et (1,2).
| \displaystyle \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{2--2}{1--1} = \frac{4}{2}=2|

3) Toutefois, ce n'est pas tout-à-fait le paramètre |a|. En effet, les points indiquent que la fonction sera ouverte vers le bas, donc le |a| doit être négatif. Ainsi, on a |a=-2|.

4) On trouve l'équation sous la forme |y=ax+b| des deux branches.
Pour la branche de gauche : on prend le |a| positif.
|-2 = 2 \cdot -1 + b |
|-2 = -2 + b|
|0 =b|
Donc, pour cette branche l'équation est |y=2x|.
Pour la branche de droite : on prend le |a| négatif.
|-6 = -2 \cdot 7 + b|
|-6 = -14 + b|
|8=b|
Donc, pour cette branche l'équation est |y=-2x+8|.

5) On trouve les coordonnées |(h,k)| du sommet grâce à la méthode de comparaison. La valeur de |x| correspondra à la valeur de |h| et celle de |y| à celle de |k|.
|2x = -2x + 8|
|4x=8|
|x=2|
Donc, |h=2|.
Pour |k|, on remplace dans l'une ou l'autre des deux équations.
|y = 2 \cdot 2||y=4|
Donc, |k=4|.
6) On écrit l'équation.
|f(x)=-2 \mid x -2 \mid + 4|

 

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