Mathématique m1162

La réciproque de la fonction valeur absolue

Voici deux méthodes pour trouver la réciproque d'une fonction valeur absolue:

La réciproque trouvée à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction valeur absolue par la méthode graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation |y = x|, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction valeur absolue.

 

Si on observe attentivement le dessin, on se rend bien compte que cette réciproque n’est pas elle-même une fonction, car pour un même |x|, il y a deux valeurs différentes pour les |y|.

La réciproque trouvée de façon algébrique

Pour trouver la réciproque de façon algébrique, il nous faut changer |x| pour le |y| et le |y|  pour le |x|. Ensuite, on isole la variable dépendante |y| afin d’obtenir la fonction réciproque que l’on cherche.



Lorsqu’on élimine une valeur absolue d’une équation, il faut appliquer la définition :


Notre réciproque est représentée ici par deux droites. Ces deux variations partielles forment les deux branches de notre réciproque. Le point de rencontre de ces deux droites sera le sommet de cette réciproque.

Pour trouver le sommet, c’est-à-dire le point de rencontre des deux droites, il suffit de résoudre ce système d’équations linéaires. Par la méthode de comparaison, nous obtenons:


Par remplacement dans la première équation, on obtient:


Les coordonnées du sommet sont donc (2,8).

Puisque le paramètre |a| de notre valeur absolue est positif, le graphique de notre fonction valeur absolue est ouvert vers le haut. Nous pouvons donc déduire que le graphique de la réciproque de notre fonction valeur absolue sera ouvert vers la droite.

Si le paramètre |a| de notre valeur absolue est négatif, le graphique de notre fonction valeur absolue est ouvert vers le bas. Nous pouvons donc déduire que le graphique de la réciproque de cette fonction valeur absolue sera ouvert vers la gauche.

Ainsi, la réciproque de notre fonction est constituée de deux demi-droites et elle est définie algébriquement de la façon suivante:



On peut observer le tout sur le graphique suivant :

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