Mathématique m1164

La fonction en escalier (partie entière)

Voici quelques généralités quant à la fonction en escalier:

Fonction en escalier

On appelle fonction en escalier une fonction qui est constante sur des intervalles. Elle est formée de plateaux qui sont appelés marches et la distance entre les plateaux est appelée contre-marche.

 

Une fonction en escalier n'a pas toujours des marches de la même longueur. Il en est de même pour les contre-marches.

Voici un exemple de graphique d'une fonction en escalier :


Fonction en escalier (partie entière)

Il serait à propos de définir ce à quoi correspond la partie entière d'un nombre.

La partie entière d'un nombre, notée | [x] |, correspond à l'unique nombre entier tel que |[x] \leq x < [x] +1|. On appelle aussi ce symbole le plus grand entier inférieur ou égal à |x|. Les deux appellations sont des synonymes.

Remarque :  Si |[x]=a| où |a| doit être un nombre entier. Alors |a \leq x < a+1|. Donc |x| appartient à l'intervalle |[a,a+1[|.

|[2,3]=2|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à 2,3. De plus, |2 \leq 2,3 < 3|.

|[-2,3]=-3|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à -2,3. De plus, |-3 \leq -2,3 < -2|.

|[45]=45|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à 45. De plus, |45 \leq 45 < 46|.

La fonction partie entière est un forme particulière de la fonction en escalier.

Une fonction en escalier est une fonction |f| telle que pour tout nombre nombre réel |x|, |f(x)| est inférieur ou égal à |x|.
La fonction en escalier sous sa forme de base a pour équation |f(x)=[x]|.
Dans cette fonction, les marches ont toutes la même mesure et les contre-marches ont toutes la même mesure également, c'est-à-dire 1.

À partir de maintenant l'appellation fonction en escalier fera référence à l'usage de la partie entière.

 

Voici le graphique de la fonction en escalier de base avec sa table de valeurs.

Les points vides ne font pas partie de la fonction. En effet, |[-1] \neq -2|, mais plutôt |[-1]=-1|. Donc, il est normal que le point (-1,-2) soit vide et que le point (-1,-1) soit plein.

Il est important de comprendre que pour une même valeur de |f(x)|, les valeurs de |x| correspondent à un intervalle qui a une extrémité fermée (point plein) et une extrémité ouverte (point vide). Tous les |x| de cet intervalle ayant le même |f(x)|, cela donne lieu à un plateau, d'où l'appellation de marche.

La suite de cette fiche traite de la fonction en escalier sous la forme |f(x)=a[bx]| ainsi que du comportement de ses paramètres (|a| et |b|).

Pour des informations supplémentaires, vous pouvez consulter les fiches suivantes.

Effets des paramètres sur le graphique de la fonction en escalier sous la forme |f(x)=a[bx]|

Analyse du paramètre |a|

Le paramètre |a| est responsable d’un changement d’échelle verticale de facteur |a|.

|\bullet| Plus le paramètre |a| est grand, plus la distance entre les marches de l’escalier est grande. Le graphique de la fonction s'allonge sur la verticale.

 

 

 

 

 

 

 

 

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|\bullet| Plus le paramètre |a| est petit (près de 0), plus la distance entre les marches de l’escalier est petite. Le graphique de la fonction se rapproche de l'axe des |x|.

 

 

 

 

 

 

 

 

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Le paramètre |a| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier.

|\bullet| Lorsque le paramètre |a| est négatif, le graphique subit une réflexion par rapport à l’axe des  |x|.  

 

Analyse du paramètre |b|

Le paramètre |b| est responsable d'un changement d'échelle horizontale de facteur | \frac{1}{b} |.

|\bullet | Si | b> 1 |, alors la longueur des segments devient plus petite. Le graphique de la fonction se contracte horizontalement.

 

 

 

 

 

 

 

 

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|\bullet| Si | 0 <  b < 1|, alors la longueur des segments est allongée d'un facteur |\frac{1}{b}|. Le graphique s'allonge à l'horizontale.

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Le paramètre |b| est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier.

|\bullet| Lorsque le paramètre |b| est négatif, le graphique subit une réflexion par rapport à l’axe des  |y|.

Aussi:

|\bullet| Si |b| est positif, chaque segment a un point fermé à gauche et un point ouvert à droite.

|\bullet| Si |b| est négatif, chaque segment a un point ouvert à gauche et un point fermé à droite.



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