Mathématique m1166

La recherche de la règle d'une fonction en escalier

Voici les deux méthodes pour trouver l'équation d'une fonction en escalier:

Recherche de la règle d'une fonction en escalier à partir d'un graphique

1) Pour les paramètres |(h,k)|, on prend l’extrémité fermée d'un segment (peu importe lequel, mais en pratique on prend un |(h,k)| près des axes).

2) On calcule la hauteur entre deux segments pour déterminer la valeur de |a| (en valeur absolue, c'est-à-dire sans son signe).

3) On calcule la valeur du paramètre |b| en fonction de la longueur d'un segment (en valeur absolue, c'est-à-dire sans son signe).

4) On analyse le sens des points  (point ouvert, point fermé) pour donner le bon signe au paramètre |b|.

5)
On regarde la croissance ou la décroissance de la fonction puis le paramètre |b| afin de déterminer le signe du paramètre |a|.

On doit trouver l'équation à partir de ce graphique :



1)
Pour les paramètres |(h,k)|, on prend le segment dont l’extrémité fermée est la plus proche de l’origine.

Le point fermé le plus près des axes dans ce graphique a pour coordonnées (1,1). Donc les valeurs du couple |(h,k)| seront |h=1| et |k=1|.

2) On calcule la hauteur entre deux segments pour déterminer la valeur de |a| (sans son signe).
Dans cette situation, la hauteur entre deux segments est de 2 unités, donc |a=2|.

3) On calcule la valeur du paramètre |b| (sans son signe) en fonction de la largeur d'un segment.
La largeur d'un segment est de 3 unités, la valeur de |b| se calcule ainsi:


4) On analyse le sens des points pour donner le bon signe au paramètre |b|.

Sur un segment du graphique, on observe que les points sont ouverts-fermés, donc la valeur de |b| est négative.

|\displaystyle b=-\frac{1}{3}|

5) On regarde la croissance de la fonction avec les paramètres |a| et |b|.

La fonction est décroissante donc les signes de |a| et |b| doivent être contraires. Dans cet exemple, |b| est négatif donc |a| doit être positif.

|a=2|

L'équation de la fonction est donc  :

|\displaystyle f(x)=2[\frac{-1}{3}(x-1)]+1|.

Recherche de la règle d'une fonction en escalier à partir d'une table de valeurs

 

1) Déterminer la longueur du segment de base (longueur de la marche) grâce à la longueur des intervalles en lien avec la variable |x|.
     a) Utiliser cette valeur pour trouver la valeur du paramètre |b| (sans son signe).

2) Trouver la valeur du paramètre |a| (sans son signe) en calculant la différence entre deux valeurs de |y| dont les deux intervalles correspondant sont consécutifs.

3) Trouver le signe du paramètre |b| selon le sens des crochets |[| des intervalles.

4) Trouver le signe du paramètre |a| selon la croissance ou la décroissante de la fonction et le signe du paramètre |b|.

5) Trouver un couple |(h,k)| correspondant à une extrémité fermée d'un intervalle.

 

Trouvez l'équation de la fonction en escalier dont la table de valeur est :
1) La longueur des intervalles est de 2 ce qui correspond à la longueur du segment de base. Il faut trouver la valeur du paramètre |b| :
|\text{ longueur du segment de base } = \displaystyle \frac{1}{\mid b \mid}|
|2 = \displaystyle \frac{1}{\mid b \mid}|
|\mid b \mid = \displaystyle \frac{1}{2}|

2) La valeur du paramètre |a| correspond au saut effectué d'un segment à l'autre (la variation de |y|).
Ici, |\mid a \mid = 1 |.

3) Les crochets étant |[ , [| ceci indique que le sens des points est fermé-ouvert. Ainsi, le paramètre |b| sera positif et vaudra donc |b = \displaystyle \frac{1}{2}|.

4) Lorsque les valeurs de |x| augmentent,  les valeurs de |y| augmentent également. Donc, la fonction est croissante (|a \times b >0|) et ainsi comme |b| est positif cela force |a| à l'être également. Par conséquent, |a=1|.

5)  Comme couple |(h,k)|, on peut prendre |(0,7)|.

Ainsi, l'équation de la fonction en escalier donnée par la table de valeurs ci-dessus est: ||f(x) = \displaystyle 1 \left[ \frac{1}{2}(x) \right] + 7.||

 

Dans un problème écrit, il est fortement suggéré de tracer le graphique ou de bâtir une table de valeurs pour trouver l'équation d'une fonction en escalier.

Les vidéos
 
Les exercices
Les références