Mathématique m1168

Les propriétés de la fonction en escalier

Propriétés de la fonction en escalier sous la base |f(x)=[x]|

Propriétés de la fonction en escalier sous la forme canonique

Propriétés Forme canonique
La règle |f(x)=a[b(x-h)]+k|
Coordonnées d'une extrémité fermée d'une marche
|(h,k)|
Domaine |dom f =\mathbb{R}| ou selon le contexte
Image (codomaine)
|\text{ima} f= \lbrace an + k \text{ où } n \in \mathbb{Z}\rbrace|
Croissance et décroissance - Si les paramètres |a| et |b| sont de même signe (|a\cdot b>0|), la fonction est croissante.
-Si les paramètres |a| et |b| sont de signes contraires (|a\cdot b<0|), la fonction est décroissante.
Zéros de la fonction S'ils existent, ce sont les valeurs de |x| pour lesquelles |f (x)=0|.
Il faut que |k| soit un multiple de |a|.
Ordonnée à l'origine C'est la valeur de |f (0)|.
Sens des points
-Si |b| est positif, chaque segment a un point fermé à gauche et un point ouvert à droite.
-Si |b| est négatif, chaque segment a un point ouvert à gauche et un point fermé à droite.
Signe de la fonction Intervalle sur lequel |f(x)\geq0|.

Intervalle sur lequel |f(x)\leq0|.
Extrémums Aucun, à moins que le domaine soit limité par le contexte.

 

Déterminez les propriétés de la fonction en escalier d'équation ||f(x)=-2\left[ \displaystyle \frac{1}{2}(x+1)\right]+2.||

Il est suggéré de tracer un graphique de la fonction.

-Les coordonnées de l'extrémité fermée d'une marche sont |(-1,2)=(h,k)|.

-Le domaine de la fonction est |\mathbb{R}|.

-Le paramètre |k| valant 2 et le paramètre |a| valant -2 alors l'image de la fonction est donnée par |\text{ima } f= -2n + 2 \text{ où }  n \in \mathbb{Z}|. On peut également donner l'image de la fonction avec des accolades |\lbrace ...,-4,-2,0,2,4,... \rbrace|.

-La fonction est décroissante puisque le produit |a \times b| est négatif. En effet, |-2 \times \displaystyle \frac{1}{2} = -1|.

-La fonction possède des zéros puisque 2 est un multiple de -2. On peut déterminer les zéros graphiquement ou encore algébriquement :
Pour y arriver, il faut remplacer |f(x)| par 0 puis ensuite isoler la partie entière,
|0 = -2\left[ \displaystyle \frac{1}{2}(x+1) \right] + 2|
|-2 = -2\left[ \displaystyle \frac{1}{2}(x+1) \right] |
|1 = \left[ \displaystyle \frac{1}{2}(x+1) \right]|
Rendu ici, il faut se souvenir que si |[x]=a| avec |a \in \mathbb{Z}| alors |a \leq x < a+1|. Ici, |a=1|. Ainsi,
|1 \leq \displaystyle \frac{1}{2}(x+1) < 2|.
Il faut maintenant isoler |x|.
|2 \leq x+1 < 4|
|1 \leq x < 3|
Par conséquent, les zéros de la fonctions sont les |x| dans l'intervalle |[1,3[|.

-L'ordonnée à l'origine de la fonction se calcule en remplaçant |x| par 0.
|f(0) = -2 \left[ \displaystyle \frac{1}{2}(0+1) \right] +2|
|f(0) = 2|
L'ordonnée à l'origine est donc 2.

-Le sens des points est plein-vide (on peut également dire fermé-ouvert). En effet, le paramètre |b| est positif.

-La fonction est positive sur l'intervalle |]- \infty, 3[| et elle est négative sur l'intervalle |[1, + \infty[|.

-La fonction n'admet aucun extremum.

 

Les propriétés des fonctions

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