Mathématique m1173

La recherche de la règle d'une fonction sinus

L’équation d’une fonction sinus s’écrit sous la forme suivante: ||f(x)=a\sin(b\,(x-h))+k.||

Pour trouver la règle d’une fonction sinus, il faut toujours trouver le maximum d'informations parmi les suivantes: l’amplitude, la période, l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation) et le déphasage. On doit repérer ces informations dans le texte du problème ou bien sur le graphique de la fonction.

Un point |(h,k)| connu

Si on connaît un point |(h,k)| (c'est-à-dire un point sur l'axe d'oscillation)

1.
On commence par trouver le déphasage (|h|) et l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation) (|k|) du point d'origine de la fonction de base par rapport au graphique à évaluer.

2. On détermine la valeur de |a| en trouvant l'amplitude.

3. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

À partir du graphique suivant, trouvez l'équation de la fonction sinus.


1. On commence par trouver le déphasage et l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation) du point d'origine de la fonction de base par rapport au graphique à évaluer.



Le point d'inflexion de cette fonction est |(\frac{-\pi}{2},3)|. Ainsi, la valeur de |h| sera de|\frac{-\pi}{2}| et la valeur de |k| sera de +3.

2.
On détermine la valeur de |a| en trouvant l'amplitude.

|\displaystyle A=\frac{\max - \min}{2}=\frac{5-1}{2}=2|

Puisque la fonction est croissante, |a| est positif et donc |a=2|.
 
3. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

On mesure la distance d'un cycle complet dans la fonction. Dans l'exemple, la période est de |\pi|.



On calcule |b|.

|\displaystyle b=\frac{2\pi}{P}=\frac{2\pi}{\pi}=2|

|b=2|

Comme la fonction est croissante et que |a| est positif, ceci permet de conclure que |b| est positif.

L'équation de la fonction est donc:

|f(x)=2\sin\left( 2(x+\frac{\pi}{2}) \right)+3|.

 Deux autres points

Lorsque l'on ne connaît pas de points pouvant jouer le rôle de |(h,k)|, il faut faire preuve de débrouillardise. En effet, il faut connaître les différentes particularités d'une fonction sinus.

Soit une fonction sinus passant par les points A |(\frac{\pi}{6},4)| et B |(\frac{7\pi}{6},0)| qui correspondent respectivement à un maximum et à un minimum successifs de la fonction.

m1173i11.PNG

L'ordonnée de chacun de ces deux points nous donne le maximum de la fonction et le minimum. Il est donc possible de déterminer l'amplitude de la fonction.
|\displaystyle A = \frac{\max - \min}{2} = \frac{4-0}{2}=2|

De plus, la valeur de l'ordonnée moyenne correspond à la moyenne du maximum et du minimum.
|\displaystyle k = \frac{4+0}{2}=2|

Étant donné que l'on a un maximum et un minimum qui sont consécutifs, la différence de leur abscisse correspond à la moitié de la valeur de la période.
|\displaystyle \frac{P}{2} = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6}=\pi|
Par conséquent, |P= 2 \pi|.

Ceci nous permet de trouver la valeur absolue de |b|.
|\displaystyle P= \frac{2\pi}{\mid b \mid} \Rightarrow \mid b \mid = 1|

Il ne reste qu'à déterminer la valeur de |h| qui correspond en fait à la moyenne des abscisses des deux points dont on dispose.
|\displaystyle h = \frac{\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{6}}{2}=\frac{2\pi}{3}|

De plus, comme le point de départ est un maximum la fonction est décroissante ce qui permet de conclure que |a| ou |b| doit être négatif. Ainsi, cette fonction possède deux équations :
|\displaystyle f(x)={\color{red}-}2\sin(x- \frac{2\pi}{3})+2|
|\displaystyle f(x)=2\sin({\color{red}-}(x-\frac{2\pi}{3}))+2|
Ceci concorde avec l'identité |\sin(-x)=-\sin(x)|.

 

Lorsqu’on demande de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale, on peut trouver l'équation d'une fonction cosinus ou l'équation d'une fonction sinus.

Par exemple, si on regarde le graphique suivant :



On pourrait écrire cette fonction selon les équations suivantes :

|f(x)=-2\sin(x)-1|
|f(x)=2\sin(-x)-1|, car |-\sin(x)=\sin(-x)|
|f(x)=2 \cos(x + \frac{\pi}{2}) - 1|, car |\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})| et |\cos(-x)=\cos(x)|
|f(x) = -2 \cos( x - \frac{\pi}{2})-1|, pour les mêmes raisons qu'à la ligne précédente.

 

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