Mathématique m1174

Tracer une fonction sinus dans un graphique

Pour tracer une fonction sinus, on a besoin de trouver les 6 informations ci-bas:

1.
L’ordonnée moyenne, c’est la valeur de l’ordonnée autour de laquelle la fonction sinus oscille. Sous la forme canonique de la fonction sinus, elle est réprésentée par le paramètre |k|.
Ainsi, |y_{moy}=k| et cette droite horizontale correspond à l'axe d'oscillation de la fonction.

2.
L'amplitude est donnée par |\mid a \mid |. On peut trouver le maximum et le minimum de la fonction à partir de l'amplitude et du paramètre |k|.
Maximum: |k+\mid a \mid|
Minimum: |k-\mid a \mid|

On trace ensuite les droites horizontales |y=k+\mid a \mid| et |y=k-\mid a \mid|.

3.
Le déphasage, c'est le déplacement horizontal de la fonction. Sous la forme canonique de la fonction sinus, il est représenté par le paramètre |h|.
On trace ensuite la droite verticale |x=h|.

4.
La période est la distance pour parcourir un cycle complet de la fonction (une oscillation complète).
La valeur de la période est donnée par |\displaystyle P= \frac{2\pi}{\mid b \mid}|.
On trace ensuite la droite verticale |x=h+ \text{période}|.


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. On sépare le rectangle formé par les droites |y=k-\mid a \mid|, |y=k+\mid a \mid|, |x=h| et |x=h+\text{période}| en 4.
Ce rectangle indique où tracer un cycle de notre fonction.

6.
La croissance de la fonction sinus varie ainsi :
|\bullet| si |a| et |b| sont de même signe (|a\cdot b>0|), alors la fonction est croissante après le point |(h,k)|
|\bullet| si |a| et |b| sont de signes contraires (|a\cdot b<0|), alors la fonction est décroissante après le point |(h,k)|.

 

On veut tracer le graphique de la fonction sinus suivante :||\displaystyle f(x)=1,5 \sin \left(\frac{\pi}{4}(x-2) \right)-4.|| 1. Il faut déterminer la valeur de l'ordonnée moyenne qui correspond à la valeur du paramètre |k|. Ensuite, il faut tracer la droite |y=k|.

Dans l'exemple, |k=-4|.


2. Avec l’amplitude, nous pouvons trouver le maximum et le minimum de la fonction. Dans cette exemple, l'amplitude a pour valeur 1,5.

Ainsi :
maximum: |-4+1,5=-2,5|
minimum: |-4-1,5=-5,5|



3. Le déphasage correspond à la valeur du paramètre |h|.

Dans l'exemple, |h=+2|.


4. Il faut trouver la valeur de la période à partir de celle du paramètre |b|.
|\displaystyle P = \frac{2 \pi}{\mid b \mid} = \frac{2\pi}{\pi/4}=8|


5. On sépare le rectangle en 4 parties.


6. Les paramètres |a| et |b| sont de même signe, la fonction est donc croissante après le point |(h,k)|. On trace ensuite la fonction.

 

On veut tracer le graphique de la fonction sinus suivante : ||f(x)=-3 \sin \left( \frac{3}{2}(x-\frac{\pi}{2})\right)+1.||1. Il faut déterminer la valeur de l'ordonnée moyenne qui correspond à la valeur du paramètre |k|. Ensuite, il faut tracer la droite |y=k|.

Dans l'exemple, |k=+1|.


2. Avec l’amplitude, on peut trouver le maximum et le minimum de la fonction. Dans l'exemple, l'amplitude a pour valeur 3.

Ainsi:
maximum: |1+3=4|
minimum: |1-3=-2|




3. Le déphasage de la fonction correspond à la valeur du paramètre |h|.

|\displaystyle h=\frac{\pi}{2}|



4. Il faut trouver la valeur de la période à partir de celle du paramètre |b|.

|\displaystyle P = \frac{2 \pi}{\mid b \mid}|

|\displaystyle P=  \frac{2\pi}{\frac{3}{2}}=2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}|


5. On sépare le rectangle en 4 parties.


6. Les paramètres |a| et |b| sont des signe contraires, la fonction est donc
décroissante après le point |(h,k)|.


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Les exercices
Les références