Mathématique m1175

La réciproque de la fonction sinus (arcsin)

On appelle fonction arc sinus, notée |\arcsin|, la fonction |f| dont le domaine est l'intervalle |[-1,1]| et le codomaine est l'intervalle |[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]| telle que |f(x)| est l'unique nombre réel dont le sinus est |x|.

Remarque: On note aussi cette fonction par |\sin^{-1}| qu'il ne faut pas confondre avec |\frac{1}{\sin}|.

Il faut mentionner que la réciproque d’une fonction sinus N’EST PAS UNE FONCTION. Pour que la réciproque de la fonction sinus devienne une fonction, on doit limiter son domaine et son codomaine.

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction sinus à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation |y = x|, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction sinus soit |\arcsin| ou |\sin^{-1}| (ici, ne pas confondre |\sin^{-1}| avec |\frac{1}{\sin}|).

Si on limite le domaine de la réciproque à l'intervalle |[-1,1]| et son codomaine à l'intervalle |[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]|, alors la réciproque devient une fonction.

La réciproque de façon algébrique

Pour trouver la réciproque de façon algébrique, on intervertit |x| et |y|. Ensuite, on isole la variable dépendante |y| et nous obtenons ainsi la fonction réciproque que l’on cherche.

Voici un exemple avec la fonction sinus transformée.

Graphiquement on obtient :
Il ne faut pas oublier de restreindre le domaine et le codomaine de la réciproque si l'on veut qu'elle soit une fonction.
Les vidéos
Les exercices
Les références